HP 50g Graphing Calculator Handleiding
- Categorie
- Waterpompen
- Type
- Handleiding
HP 50g grafische rekenmachine
gebruiksaanwijzing
H
Editie 1
HP artikelnummer F2229AA-90013
hp 49g+_UM_FrontPage_D.fm Page 1 Monday, March 20, 2006 2:36 PM
Mededeling
MELD JE PRODUCT AAN: www.register.hp.com
DE INHOUD VAN DEZE HANDLEIDING EN DE HIERIN VERVATTE
FICTIEVE PRAKTIJKVOORBEELDEN KUNNEN ZONDER
AANKONDIGING VERANDERD WORDEN. HEWLETT–PACKARD
COMPANY GEEFT GEEN GARANTIE AF VAN WELKE AARD DAN
OOK MET BETREKKING TOT DEZE HANDLEIDING,
WAARONDER OOK STILZWIJGENDE GARANTIES VAN
VERHANDELBAARHEID, GESCHIKTHEID VOOR EEN BEPAALD
DOEL EN GEEN INBREUK VORMEND VAN TOEPASSING ZIJN,
MAAR DIE HIER NIET TOT BEPERKT ZIJN.
HEWLETT–PACKARD CO. KAN NIET AANSPRAKELIJK WORDEN
GESTELD VOOR ENIGERLEI FOUTEN OF VOOR INCIDENTELE OF
GEVOLGSCHADE IN VERBAND MET LEVERING, PRESTATIE OF
GEBRUIK VAN DEZE HANDLEIDING OF DE HIERIN VERVATTE
VOORBEELDEN.
© Copyright 2003, 2006 Hewlett-Packard Development Company, L.P.
Vermenigvuldiging, aanpassing, of vertaling van deze handleiding is,
behalve zoals toegestaan onder de auteurswet, niet toegestaan zonder
eerder schriftelijke toestemming van Hewlett-Packard Company.
Hewlett-Packard Company
4995 Murphy Canyon Rd,
Suite 301
San Diego, CA 92123
Oplage
Editie 1 Grasmaand 2006
hp 49g+_UM_FrontPage_D.fm Page 2 Monday, March 20, 2006 2:36 PM
Voorwoord
U heeft een compacte symbolische en numerieke computer in handen die
de berekening en wiskundige analyse van problemen vergemakkelijkt in
een verscheidenheid van disciplines, variërend van elementaire wiskunde
tot gevorderde technische en wetenschappelijke onderwerpen.
Deze gebruiksaanwijzing bevat voorbeelden die het gebruik van de
basisfuncties en bewerkingen van de rekenmachine weergeven. De
hoofdstukken in deze gebruiksaanwijzing zijn op onderwerp gerangschikt
in volgorde van moeilijkheidsgraad: van het instellen van de modi van de
rekenmachine tot reële en complexe nummerberekeningen, bewerkingen
met lijsten, vectoren en matrices, grafieken, calculus-toepassingen,
vectoranalyse, differentiaalvergelijkingen, waarschijnlijkheid en statistiek,
Voor symbolische bewerkingen beschikt de rekenmachine over een
krachtig Computer Algebraïsch Systeem (CAS) waarmee verschillende
bewerkingsmodi geselecteerd kunnen worden, bijv. complexe nummers vs.
reële nummers of exacte (symbolisch) modus vs. benaderende (numerieke)
modus. Het scherm kan zo aangepast worden dat het
tekstboekuitdrukkingen kan weergeven. Deze kunnen handig zijn bij het
werken met matrices, vectoren, fracties, optellingen, afgeleiden en
integralen. De hoge snelheid in grafische toepassingen is erg nuttig om in
heel korte tijd ingewikkelde afbeeldingen te maken.
Dankzij de infrarode poort, de RS232 poort en de USB-poort en kabel die
worden meegeleverd met uw rekenmachine, kunt u de rekenmachine
aansluiten op andere rekenmachines en computers. Dit stelt u in staat snel
en efficiënt programma’s en gegevens uit te wisselen met andere
rekenmachines en computers. De rekenmachine is eveneens voorzien van
poorten voor een flashgeheugenkaart om het opslaan en uitwisselen van
gegevens met andere gebruikers te vergemakkelijken.
Wij hopen dat uw rekenmachine een betrouwbare compagnon zal worden
voor studie en beroep.
Opmerking: decimalen in deze handleiding worden weergegeven
met behulp van een decimaal punt in plaats van met een decimale
komma. Dit is de default instelling van de rekenmachine. Indien u
wenst om met de decimale komma te werken, kan u de default
instelling wijzigen. De procedure hiervoor wordt uiteengezet in
hoofdstuk 1.
Blz. TOC-1
Inhoudsopgave
Hoofdstuk 1 - Beginnen
Basisbediening, 1-1
Batterijen, 1-1
De rekenmachine in- en uitschakelen, 1-2
Het contrast van het beeldscherm instellen, 1-2
Inhoud van het beeldscherm van de rekenmachine, 1-3
Menu’s, 1-3
Het menu TOOL, 1-4
De tijd en datum instellen, 1-4
Toetsenbord van de rekenmachine, 1-5
Modi van de rekenmachine selecteren, 1-6
Bedieningsmodus, 1-7
Getalopmaak en punt of komma als decimaalteken, 1-10
Standaardopmaak: , 1-10
Vaste opmaak met decimalen , 1-11
Wetenschappelijke opmaak, 1-12
Technische opmaak, 1-12
Komma’s en punten, 1-13
Hoekmeting, 1-14
Coördinatenstelsel, 1-15
CAS-instellingen selecteren, 1-15
Verklaring van de CAS-instellingen, 1-16
Beeldschermmodi selecteren, 1-17
Lettertype van het beeldscherm selecteren, 1-18
Eigenschappen van de regeleditor selecteren, 1-19
Eigenschappen van het stapelgeheugen selecteren, 1-19
Eigenschappen van de vergelijkingenschrijver (EQW) selecteren, 1-
21
Referenties, 1-21
Blz. TOC-2
Hoofdstuk 2 - Introductie van de rekenmachine
Objecten van de rekenmachine, 2-1
Uitdrukkingen in het stapelgeheugen bewerken, 2-1
Rekenkundige uitdrukkingen maken, 2-1
Algebraïsche uitdrukkingen maken, 2-4
De vergelijkingenschrijver (EQW) gebruiken om uitdrukkingen te mak-
en, 2-4
Rekenkundige uitdrukkingen maken, 2-5
Algebraïsche uitdrukkingen maken, 2-7
Gegevens organiseren in de rekenmachine, 2-8
De HOME-directory, 2-8
Subdirectory's, 2-9
Variabelen, 2-9
Variabelennamen invoeren, 2-9
Variabelen maken, 2-10
De Algebraïsche modus, 2-10
De RPN-modus, 2-11
Inhoud van variabelen controleren, 2-12
De Algebraïsche modus, 2-12
De RPN-modus, 2-13
Toets rechts-shift gevolgd door labels van softmenutoetsen ge-
bruiken, 2-13
Inhoud van alle variabelen op het scherm weergeven, 2-14
Variabelen verwijderen, 2-14
De functie PURGE gebruiken in het stapelgeheugen in de Alge-
braïsche modus, 2-14
De functie PURGE gebruiken in het stapelgeheugen in de RPN-
modus, 2-15
De functies UNDO en CMD, 2-15
CHOOSE boxes en Soft-MENU, 2-16
Referenties, 2-18
Hoofdstuk 3 - Berekeningen met reële getallen
Voorbeelden van berekeningen met reële getallen, 3-1
Blz. TOC-3
Tiende machten gebruiken om gegevens in te voeren, 3-3
Functies voor reële getallen in het menu MTH, 3-5
Rekenmachinemenu’s gebruiken: , 3-5
Hyperbolische functies en de tegenwaarden, 3-6
Handelingen met eenheden, 3-7
Het menu UNITS, 3-7
Beschikbare eenheden, 3-9
Eenheden aan getallen koppelen, 3-10
Eenheidprefixen, 3-11
Handelingen met eenheden, 3-11
Eenheidconversies, 3-13
Fysische constanten in de rekenmachine, 3-13
Functies definiëren en gebruiken, 3-16
Referentie, 3-17
Hoofdstuk 4 - Berekeningen met complexe getallen
Definities, 4-1
De rekenmachine in de modus COMPLEX instellen, 4-1
Complexe getallen invoeren, 4-2
Polaire weergave van een complex getal, 4-2
Eenvoudige handelingen met complexe getallen, 4-3
De menu’s CMPLX, 4-4
Menu CMPLX via het menu MTH, 4-4
Menu CMPLX via het toetsenbord, 4-5
Functies toegepast op complexe getallen, 4-6
Functie DROITE: vergelijking van een rechte lijn, 4-7
Referentie, 4-7
Hoofdstuk 5 - Algebraïsche en rekenkundige han-
delingen
Algebraïsche objecten invoeren, 5-1
Eenvoudige handelingen met algebraïsche objecten, 5-2
Handelingen met transcendente functies, 5-5
Uitbreiding en factorisering met log-exp-functies, 5-5
Blz. TOC-4
Uitbreiding en factorisering met trigonometrische functies, 5-6
Functies in het menu ARITHMETIC, 5-7
Polynomen, 5-8
De functie HORNER, 5-8
De variabele VX, 5-8
De functie PCOEF, 5-8
De functie PROOT, 5-9
De functies QUOT en REMAINDER, 5-9
De functie PEVAL, 5-9
Breuken, 5-9
De functie SIMP2, 5-10
De functie PROPFRAC, 5-10
De functie PARTFRAC, 5-10
De functie FCOEF, 5-10
De functie FROOTS, 5-11
Stapsgewijze handelingen met polynomen en breuken, 5-11
Referentie, 5-12
Hoofdstuk 6 - Het oplossen van vergelijkingen
Symbolische oplossing van algebraïsche vergelijkingen, 6-1
De functie ISOL , 6-1
De functie SOLVE, 6-3
De functie SOLVEVX, 6-4
De functie ZEROS, 6-5
Menu van de Numerieke solver, 6-5
Polynome Vergelijkingen, 6-6
De oplossingen voor een polynome vergelijking vinden, 6-6
Polynome coëfficiënten genereren waarbij de wortels van de
polynoom zijn gegeven, 6-7
Een algebraïsche expressie genereren voor de polynomen, 6-8
Financiële berekeningen, 6-9
Vergelijkingen met één onbekende oplossen m.b.v. NUM.SLV, 6-9
De functie STEQ, 6-9
Oplossing voor gelijktijdige vergelijkingen met MSLV, 6-11
Blz. TOC-5
Referentie, 6-12
Hoofdstuk 7 - Bewerkingen met lijsten
Lijsten aanmaken en opslaan, 7-1
Bewerkingen met getallenlijsten, 7-1
Veranderend teken , 7-1
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, 7-1
Functies toegepast op lijsten, 7-3
Lijsten van complexe getallen, 7-4
Lijsten van algebraïsche objecten, 7-4
Het menu MTH/LIST , 7-5
De functie SEQ, 7-6
De functie MAP, 7-6
Referentie, 7-7
Hoofdstuk 8 - Vectoren
Vectoren invoeren, 8-1
Vectoren in het stapelgeheugen invoeren., 8-1
Vectoren opslaan in variabelen in het stapelgeheugen, 8-2
De Matrixschrijver (MTRW) gebruiken om vectoren in te voeren, 8-2
Eenvoudige bewerkingen met vectoren, 8-4
Veranderend teken , 8-5
Optellen, aftrekken, 8-5
Vermenigvuldigen met een scalair en delen door een scalair, 8-5
De functie absolute waarde, 8-6
Het menu MTH/VECTOR, 8-6
Grootte, 8-7
Scalair product, 8-7
Vectorieel product, 8-7
Hoofdstuk 9 - Matrices en lineaire algebra
Matrices in het stapelgeheugen invoeren, 9-1
Met de Matrixschrijver , 9-1
De Matrix direct in het stapelgeheugen invoeren, 9-2
Blz. TOC-6
Bewerkingen met matrices, 9-2
Optellen en aftrekken, 9-3
Vermenigvuldiging, 9-4
Vermenigvuldiging met een scalair, 9-4
Matrix-vectorvermenigvuldiging, 9-4
Matrixvermenigvuldiging, 9-5
Term-voor-term vermenigvuldiging, 9-5
De identiteitsmatrix, 9-6
De inverse matrix, 9-7
Een matrix karakteriseren (Het menu matrix NORM), 9-7
De functie DET, 9-8
De functie TRACE, 9-8
Oplossing van lineaire systemen, 9-8
De numerieke solver gebruiken voor lineaire systemen, 9-9
Oplossing met de inverse matrix, 9-11
Oplossing door “deling” van matrices, 9-11
Referenties, 9-11
Hoofdstuk 10 - Grafieken
Grafische opties in de rekenmachine, 10-1
Een uitdrukking van de vorm y = f(x) plotten, 10-2
Een tabel genereren van waarden voor een functie, 10-3
Snelle 3D-grafieken, 10-5
Referentie, 10-7
Hoofdstuk 11 - Calculustoepassingen
Het menu CALC (Calculus) , 11-1
Limieten en afgeleiden, 11-1
De functie Lim, 11-1
De Functies DERIV en DERVX, 11-3
Anti-afgeleiden en integralen, 11-3
De functies INT, INTVX, RISCH, SIGMA en SIGMAVX, 11-3
Eindige integralen, 11-4
Oneindige series, 11-5
Blz. TOC-7
De Functies TAYLR, TAYLR0, en SERIES, 11-5
Referentie, 11-6
Hoofdstuk 12 - Multivariant Calculustoepassingen
Partiële afgeleiden, 12-1
Meervoudige integralen, 12-2
Referentie, 12-2
Hoofdstuk 13 - Toepassingen van vectoranalyse
De del-operator, 13-1
Gradiënt, 13-1
Divergentie, 13-2
Rotatie, 13-2
Referentie, 13-2
Hoofdstuk 14 - Differentiaalvergelijkingen
Het menu CALC/DIFF, 14-1
Oplossing voor lineaire en niet-lineaire vergelijkingen, 14-1
De functie LDEC, 14-2
De functie DESOLVE, 14-3
De variabele ODETYPE, 14-3
Laplace-transformaties, 14-4
Laplace-transformaties en inversies in de rekenmachine, 14-4
Fourier-reeksen, 14-5
De functie FOURIER, 14-5
Fourier-reeks voor een kwadratische functie, 14-6
Referentie, 14-7
Hoofdstuk 15 - Kansverdelingen
Het submenu MTH/PROBABILITY..– deel 1, 15-1
Faculteiten, combinaties en permutaties, 15-1
Willekeurige getallen, 15-2
Het menu MTH/PROBABILITY.. – deel 2, 15-2
De normale verdeling, 15-3
De Student-t-verdeling, 15-3
Blz. TOC-8
De Chi-kwadraat verdeling, 15-3
De F-verdeling, 15-4
Referentie, 15-4
Hoofdstuk 16 - Statistische Toepassingen
Gegevens invoeren, 16-1
Statistieken met één variabele berekenen, 16-2
Steekproef vs. populatie, 16-2
Frequentieverdelingen verkrijgen, 16-3
Gegevens in een functie y = f(x) plaatsen, 16-4
Aanvullende samenvattende statistieken verkrijgen, 16-6
Betrouwbaarheidsintervallen, 16-7
Hypotheses testen, 16-9
Referentie, 16-11
Hoofdstuk 17 - Getallen in Verschillende Grondtallen
Het menu BASE, 17-1
Niet-decimale getallen schrijven, 17-1
Referentie, 17-2
Hoofdstuk 18 - SD-kaarten gebruiken
Plaatsen en verwijderen van een SD kaart, 18-1
Formatteren van een SD kaart, 18-1
Toegang verkrijgen tot een object op een SD kaart , 18-2
Gegevens opslaan op de SD-kaart, 18-3
Gegevens oproepen van de SD-kaart, 18-3
Een object van de SD-kaart wissen, 18-4
Alle objecten wissen van de SD kaart (door te herformateren), 18-4
Specificeren van een directory op een SD kaart, 18-4
Hoofdstuk 19 - Vergelijkingenbibliotheek
Referentie, 19-4
Beperkte Garantie
, G-1
Service
, G-3
Blz. 1-1
Hoofdstuk 1
Beginnen
Dit Hoofdstuk beschrijft de basisinformatie betreffende het gebruik van uw
rekenmachine. De doelstelling van de oefeningen is dat u vertrouwd raakt
met de basisfuncties en instellingen voordat u daadwerkelijk een
berekening maakt.
Basisbediening
De volgende oefeningen zijn bedoeld om de hardware van uw
rekenmachine beter te leren kennen.
Batterijen
De rekenmachine gebruikt 4 AAA(LR03)-batterijen als hoofdvoeding en
een CR2032 lithiumbatterij voor geheugenbackup.
Plaats de batterijen volgens de onderstaande procedure alvorens de
rekenmachine te gebruiken:
De hoofdbatterijen plaatsen
a. Zorg ervoor dat de calculator uitgeschakeld is.
Schuif het deksel van
de batterijhouder omhoog zoals in de afbeelding.
b. Plaats 4 nieuwe AAA(LR03)-batterijen in het batterijgedeelte. Zorg
ervoor dat elke batterij in de juiste richting wordt geplaatst.
De backupbatterij plaatsen
a. Zorg ervoor dat de calculator uitgeschakeld is. Druk de houder naar
beneden. Duw het afdekplaatje in de getoonde richting en til het op.
Blz. 1-2
b. Plaats een nieuwe CR2032 lithiumbatterij. Zorg ervoor dat de positieve
kant (+) naar boven is geplaatst.
C .Plaats het afdekplaatje terug en duw het in de beginpositie.
Druk, nadat de batterijen zijn geplaatst, op $ om de rekenmachine in te
schakelen.
Waarschuwing: als de pictogram van een zwakke batterij op het
beeldscherm verschijnt, dienen de batterijen zo spoedig mogelijk
vervangen te worden. De backupbatterij en de hoofdbatterijen echter nooit
tegelijkertijd verwijderen om gegevensverlies te voorkomen.
De rekenmachine in- en uitschakelen
De toets $ bevindt zich in de linkeronderhoek van het toetsenbord. Druk
één keer op deze toets om de rekenmachine in te schakelen. Druk, om de
rekenmachine uit te schakelen, op de rechter shifttoets @ (eerste toets in
de tweede rij vanaf de onderzijde van het toetsenbord) en daarna op
$. De toets $ is in de rechterbovenhoek voorzien van een OFF-
markering, als geheugensteuntje voor de OFF-functie van de
rekenmachine.
Het contrast van het beeldscherm instellen
U kunt het beeldschermcontrast instellen door tegelijkertijd op de toets $
en de toetsen +of - te drukken.
De toetscombinatie $(vasthouden) en +maken het beeldscherm
donkerder
De toetscombinatie $(vasthouden) en -maken het beeldscherm
lichter
Ch01_Beginnen.fm Page 2 Sunday, March 26, 2006 11:37 AM
Blz. 1-3
Inhoud van het beeldscherm van de rekenmachine
Zet uw rekenmachine weer aan. Boven in het beeldscherm staan twee
informatieregels die de instellingen van de rekenmachine beschrijven. In
de eerste regel staan de volgende tekens:
RAD XYZ HEX R= 'X'
Raadpleeg hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over de betekenis van deze symbolen.
In de tweede regel staan de volgende tekens
{ HOME }
Dit betekent dat de HOME-directory de huidige bestandsdirectory in het
geheugen van de rekenmachine is.
Onder in het beeldscherm staan enkele labels, te weten:
@EDIT @VIEW @@RCL@@ @@STO@ !PURGE !CLEAR
die bij de zes softmenutoetsen, F1 tot en met F6, horen:
ABCDEF
De zes labels die in onder in het scherm worden weergegeven, kunnen
veranderen als er een ander menu wordt getoond. A hoort altijd bij het
eerste weergegeven label en B altijd bij het tweede label, enz.
Menu’s
De zes labels die bij de toetsen A tot en met F hore n, maken d eel u it
van een menu
met functies. Omdat de rekenmachine slechts zes
softmenutoetsen heeft, worden er maar 6 labels per keer weergegeven.
Een menu kan echter uit meer dan zes invoeren bestaan. Elke groep van 6
invoeren wordt een menupagina genoemd. Druk op de toets
L(Volgende menu) wanneer u naar de volgende menupagina wilt
(indien beschikbaar). Dit is de derde toets van links in de derde toetsenrij
van het toetsenbord.
Blz. 1-4
Het menu TOOL
De softmenutoetsen van het weergegeven menu, het menu TOOL, zijn voor
het bewerken van variabelen (zie de paragraaf over variabelen in dit
hoofdstuk).
Deze zes functies vormen de eerste pagina van het menu TOOL. Dit menu
heeft in totaal acht invoeren die over twee pagina’s zijn verdeeld. Door op
de toets L (volgende menu) te drukken, komt u op de tweede pagina.
Dit is de derde toets van links in de derde toetsenrij van het toetsenbord.
Nu hebben alleen de eerste twee softmenutoetsen specifieke commando’s.
Deze commando’s zijn:
Door op de toets L te drukken, verschijnt het originele menu TOOL. Het
menu TOOL kan ook worden verkregen door op de toets I te drukken
(dit is de derde toets van links in de tweede toetsenrij boven in het
toetsenbord).
De tijd en datum instellen
Raadpleeg hoofdstuk 1 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor het instellen van de tijd en de datum.
@EDIT
A
EDIT: bewerken van de inhoud van een variabele (zie
hoofdstuk 2 in deze handleiding en hoofdstuk 2 en Bijlage L
in de gebruikshandleiding voor meer informatie over
bewerken)
@VIEW
B
VIEW: bekijken van de inhoud van een variabele
@@RCL@@
C
ReCaLl: oproepen van de inhoud van een variabele
@@STO@
D
STOre: opslaan van de inhoud van een variabele
@PURG
E
PURGE: verwijderen van een variabele
CLEAR
F
CLEAR: wissen van het beeldscherm of het stapelgeheugen
@CASCM
A
CASCMD: CAS CoMmanD, wordt gebruikt om een
commando te starten van de CAS door uit een lijst te
selecteren
@HELP
B
HELP-functie die de commando’s beschrijft in de
rekenmachine
Blz. 1-5
Toetsenbord van de rekenmachine
In onderstaande afbeelding ziet u een weergave van het toetsenbord van
de rekenmachine met genummerde rijen en kolommen. Elke toets heeft
drie, vier of vijf functies. De hoofdfunctie van een toets heeft de meest
zichtbare markering op de toets. De linkershifttoets, toets (8,1), de
rechtershifttoets, toets (9,1) en de toets ALPHA, toets (7,1) kunnen worden
gecombineerd met enkele andere toetsen om de andere functies in het
toetsenbord te activeren.
Zo kan met toets P, toets(4,4), de volgende zes functies worden
uitgevoerd:
P Hoofdfunctie: het activeren van het menu SYMBolic
„´ Functie links-shift: het activeren van het menu
MTH(wiskundig)
Ch01_Beginnen.fm Page 5 Sunday, March 26, 2006 11:37 AM
Blz. 1-6
Van de zes functies die met een toets kunnen worden uitgevoerd, worden
alleen de eerste vier op het toetsenbord weergegeven. De afbeelding op
de volgende pagina geeft de vier labels voor de toets P weer. -De kleur
en de plaats van de markeringen op de toets, namelijk SYMB, MTH, CAT
en P, geven aan wat de hoofdfunctie is (SYMB) en welke drie andere
functies kunnen worden uitgevoerd met de toetsen links-shift „(MTH),
rechts-shift …(CAT ) en ~ (P).
Raadpleeg Bijlage B in de gebruikshandleiding van de rekenmachine voor
meer informatie over het gebruik van het toetsenbord van de
rekenmachine.
Modi van de rekenmachine selecteren
In deze paragraaf gaan we er vanuit dat u al een beetje bekend bent met
het gebruik van de kies- en dialoogvensters (Raadpleeg Bijlage A in de
gebruikshandleiding wanneer dit niet het geval is).
Druk op de toets H (tweede toets van links in de tweede toetsenrij boven
in het toetsenbord) om het volgende invoervenster voor CALCULATOR
MODES weer te geven:
…N Functie rechts-shift: het activeren van de functie CATalog
~p functie ALPHA: het invoeren van de hoofdletter P
~„p functie ALPHA-Links-shift: het invoeren van de kleine letter p
~…p functie ALPHA-Rechts-shift: het invoeren van het symbool π
Ch01_Beginnen.fm Page 6 Sunday, March 26, 2006 11:37 AM
Blz. 1-7
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het normale
beeldscherm. Hier volgen enkele voorbeelden voor het selecteren van
verschillende rekenmachinemodi.
Bedieningsmodus
De rekenmachine bevat twee bedieningsmodi: de modus Algebraic en de
modus Reverse Polish Notation (RPN). De rekenmachine staat standaard in
de modus Algebraic (zoals in de bovenstaande afbeelding te zien is),
maar gebruikers van oudere modellen van HP-rekenmachines zijn
misschien meer bekend met de RPN-modus.
Als u een bedieningsmodus wilt selecteren, moet u eerst het invoervenster
CALCULATOR MODES openen met de toets H. Het Veld Operating
Mode wordt gemarkeerd. Selecteer de bedieningsmodus Algebraic of
RPN met de toets \ (tweede van links in de vijfde rij onder in het
toetsenbord) of door op de softmenutoets @CHOOS ( B) te drukken. Bij de
tweede methode kunt u de pijltjes omhoog en omlaag, —˜, gebruiken
om de modus te selecteren. Druk daarna op de softmenutoets !!@@OK#@ om de
handeling te voltooien.
Om het verschil aan te geven tussen deze twee bedieningsmodi, voeren
we de volgende uitdrukking op beide manieren uit:
Om deze uitdrukking in de rekenmachine in te voeren, gebruiken we eerst
de vergelijkingenschrijver, ‚O. Zoek de volgende toetsen op het
toetsenbord, samen met de numerieke toetsen.
!@.#*+-/R
Q¸Ü‚Oš™˜—`
De vergelijkingenschrijver is een beeldschermmodus waarmee u
wiskundige uitdrukkingen kunt opstellen met expliciet wiskundige
aanduidingen, zoals breuken, afgeleiden, integralen, wortels, enz.
Gebruik de volgende toetsen als u de vergelijkingenschrijver wilt
gebruiken voor het opstellen van de hierboven weergegeven uitdrukking:
‚OR3.*!Ü5.-
1./3.*3.
—————
/23.Q3™™+!¸2.5`
5.2
3
0.23
0.30.3
1
0.50.3
e+
⋅
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Blz. 1-8
Als u op ` drukt, geeft de rekenmachine de volgende uitdrukking weer:
√ (3.*(5.-1/(3.*3.))/23.^3+EXP(2.5))
Als u opnieuw op ` drukt, krijgt u de volgende waarde (accepteer
modus Approx. aan als u hierom wordt gevraagd door op !!@@OK#@ te
drukken):
U kunt de uitdrukking ook als volgt rechtstreeks in het beeldscherm typen
zonder de vergelijkingenschrijver te gebruiken:
R!Ü3.*!Ü5.-1/
3.*3.™
/23.Q3+!¸2.5`
Zo krijgt u hetzelfde resultaat.
Verander de bedieningsmodus in RPN door eerst op de toets H te
drukken. Selecteer de bedieningsmodus RPN met de toets \ of door op
de softmenutoets @CHOOS te drukken. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ ( F)
om de handeling te voltooien. Het beeldscherm ziet er bij de RPN-modus
als volgt uit:
U ziet dat het beeldscherm meerdere niveaus van de uitkomst heeft
genummerd met van onder naar boven 1, 2, 3, enz. Dit wordt het
stapelgeheugen van de rekenmachine genoemd. De verschillende niveaus
worden stapelgeheugenniveaus genoemd, dus stapelgeheugenniveau 1,
stapelgeheugenniveau 2, etc.
RPN wil dus eigenlijk zeggen dat u een handeling zoals 3 + 2 niet in de
rekenmachine invoert met
3+2`
maar eerst de operanden in de juiste volgorde invoert en daarna de
operator, dus
3`2+
Blz. 1-9
De operanden nemen bij het invoeren verschillende
stapelgeheugenniveaus in gebruik. Als u 3` invoert, wordt het getal
3 in stapelgeheugenniveau 1 ingevoerd. Als u daarna 2 invoert, gaat
het getal 3 naar naar stapelgeheugenniveau 2. Door vervolgens op +
te drukken, vertellen we de rekenmachine dat hij de operator of het
programma + moet toepassen op de objecten in niveaus 1 en 2. De
uitkomst, 5, wordt vervolgens in niveau 1 geplaatst.
We proberen eerst enkele eenvoudige handelingen voordat we de
moeilijkere uitdrukking uitproberen die eerder is gebruikt bij de
algebraïsche modus.
Let op de posities van de y en de x in de laatste twee handelingen. De
basis in de exponentiële handeling is y (stapelgeheugenniveau 2), terwijl
het exponent x is (stapelgeheugenniveau 1) voordat de toets Q wordt
ingedrukt. In de derdemachtswortel is y (stapelgeheugenniveau 2) het
getal onder het wortelteken en x (stapelgeheugenniveau 1) de wortel.
Probeer de volgende oefening met de volgende 3 factoren: (5 + 3)
× 2
Probeer nu de eerder genoemde uitdrukking:
123/32 123`32/
4
2
4`2Q
3
√(√27)
27R3@»
5`3+ Berekent eerst (5 +3).
2X Voltooit de berekening.
3` Voer 3 in op niveau 1
5` Voer 5 in op niveau 1, 3 gaat naar niveau 2
3` Voer 3 in op niveau 1, 5 gaat naar niveau 2, 3 naar
niveau 3
3* Voer 3 in en vermenigvuldig, 9 verschijnt op niveau 1
Y 1/(3
×3), laatste waarde op niv. 1; 5 op niveau 2; 3 op
niveau 3
5.2
3
23
33
1
53
e+
⋅
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Blz. 1-10
Om te wisselen tussen de bedieningsmodi ALG en RPN kunt u ook
systeemvlag 95 wissen/verwijderen door op de volgende toetsen te
drukken:
H @FLAGS! 9˜˜˜˜ `
Getalopmaak en punt of komma als decimaalteken
Door de getalopmaak te wijzigen, kunt u de manier aanpassen waarop
reële cijfers worden weergegeven door de rekenmachine. Deze functie is
bijzonder handig bij handelingen met tiende machten of om het aantal
decimalen van een uitkomst te beperken.
Om een getalopmaak te selecteren, moet u eerst het invoervenster
CALCULATOR MODES openen door op de toets H te drukken. Gebruik
daarna de toets pijltje omlaag, ˜, om de optie Number format te
selecteren. De standaardwaarde is Std, oftewel Standaardopmaak. In de
standaardopmaak geeft de rekenmachine getallen met zwevende komma
weer met geen ingestelde decimalen en met de maximaal door de
rekenmachine toegestane precisie (12 significante cijfers). U leest meer
over reële getallen in hoofdstuk 2 van deze gebruikshandleiding. Probeer
ter verduidelijking van bovengenoemde en andere getalopmaken de
volgende oefeningen:
Standaardopmaak:
Deze modus wordt het meeste gebruikt, omdat de cijfers in de meest
bekende notatie worden weergegeven. Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ ,
met Number format ingesteld op Std, om terug te keren naar het
beeldscherm van de rekenmachine. Voer het getal 123.4567890123456
- 5 - 1/(3
×3) , staat nu op niveau 1; 3 op niveau 2
* 3
× (5 - 1/(3×3)), staat nu op niveau 1.
23`Voer 23 in op niveau 1, 14.66666 gaat naar niveau 2.
3Q
Voer 3 in, bereken 23
3
op niveau 1. 14.666 op niv. 2.
/
(3
× (5-1/(3×3)))/23
3
naar niveau 1
2.5Voer 2.5 in niveau 1
!¸
e
2.5
, gaat naar niveau 1, niveau 2 geeft de vorige aarde
weer.
+
(3
× (5 - 1/(3×3)))/23
3
+
e
2.5
= 12.18369, naar niv. 1.
R
√((3× (5 - 1/(3×3)))/23
3
+
e
2,5
) = 3.4905156, naar 1.
Blz. 1-11
in (met 16 significante cijfers). Druk op de toets `. Het getal wordt
afgerond op maximaal 12 significante cijfers en wordt als volgt
weergegeven:
Vaste opmaak met decimalen
Druk op de toets H. Selecteer daarna met de toets pijltje omlaag, ˜,
de optie . Druk op de softmenutoets @CHOOS ( B) en selecteer de optie
Fixed met de toets pijltje omlaag ˜.
Druk op de toets pijltje rechts, ™, om de nul voor de optie Fix te
markeren. Druk op de softmenutoets @CHOOS en selecteer bijvoorbeeld 3
decimalen met de toetsen pijltje omhoog en omlaag, —˜.
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om de selectie te voltooien:
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het beeldscherm
van de rekenmachine. Het getal wordt nu weergegeven als:
Blz. 1-12
U ziet dat het getal is afgerond en niet afgekapt. Het getal
123.4567890123456 wordt voor deze instelling dus weergegeven als
123.457 en niet als 123.456, omdat het cijfer na 6 > 5 is
Wetenschappelijke opmaak
U stelt deze opmaak in door op de toets H te drukken. Selecteer daarna
met de toets pijltje omlaag, ˜, de optie Number format. Druk op de
softmenutoets @CHOOS ( B) en selecteer de optie Scientific met de toets
pijltje omlaag ˜. Het getal 3 moet voor Sci blijven staan. (Dit getal kan
op dezelfde manier worden gewijzigd als het Fixed aantal decimalen in
het bovenstaande voorbeeld).
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het beeldscherm
van de rekenmachine. Het getal wordt nu weergegeven als:
De uitkomst, 1.23E2, is de rekenmachineversie van de notatie voor tiende
machten, dus 1.235
×
10
2
. In deze zogenaamde wetenschappelijke
notatie geeft het getal 3 voor de getalopmaak Sci (zoals eerder getoond)
het aantal significante cijfers na de komma weer. De wetenschappelijke
notatie heeft altijd één geheel getal, zoals hierboven. In dit geval is het
aantal significante cijfers dus vier.
Technische opmaak
De technische opmaak (Engineering) lijkt sterk op de wetenschappelijke
opmaak, maar de tiende machten zijn hier meervouden van drie. U stelt
deze opmaak in door op de toets H te drukken. Selecteer daarna met
Blz. 1-13
de toets pijltje omlaag, ˜, de optie Number format . Druk op de
softmenutoets @CHOOS (B) en selecteer de optie Engineering met de toets
pijltje omlaag ˜. Het getal 3 moet voor Eng blijven staan. (Dit getal kan
op dezelfde manier worden gewijzigd als het Fixed aantal decimalen in
het bovenstaande voorbeeld.)
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het beeldscherm
van de rekenmachine. Het getal wordt nu weergegeven als:
Omdat er bij dit getal drie cijfers in het gehele getal staan, wordt het
weergegeven met vier significante cijfers en een tiende macht van nul in de
Technische opmaak. Het getal 0.00256 wordt bijvoorbeeld als volgt
weergegeven:
Komma’s en punten
De punten in cijfers met zwevende punten kunnen worden vervangen door
komma's als de gebruiker hier liever mee werkt. Om de punten te
vervangen door komma's wijzigt u de optie FM in CALCULATOR MODES
als volgt naar komma's (U ziet dat we Number Format hebben gewijzigd
in Std):
Druk op de toets H. Druk daarna een keer op de toets pijltje omlaag,
˜, en keer op het pijltje rechts, ™, om de optie __FM, te markeren.
Om komma’s te selecteren, drukt u op de softmenutoets (dus de
toets B). Het invoerscherm ziet er als volgt uit:
Blz. 1-14
Druk op de softmenutoets !!@@OK#@ om terug te keren naar het beeldscherm
van de rekenmachine. Het getal 123.4567890123456, dat we eerder
hebben ingevoerd, wordt nu weergegeven als:
Hoekmeting
Bij trigonometrische functies moet u bijvoorbeeld argumenten invoeren
voor vlakke hoeken. De rekenmachine heeft drie verschillende modi voor
Hoekmetingen die u bij hoeken kunt gebruiken:
• Graden: Er zitten 360 graden (360
ο
) in een complete omtrek.
•Radialen: Er zitten 2
π radialen (2π
r
) in een complete omtrek.
• Decimale graden: Er zitten 400 decimale graden (400
g
) in een
complete omtrek.
De hoekmeting is van invloed op trigonometrische functies als SIN, COS,
TAN en de bijbehorende functies.
U kunt de modi voor hoekmetingen als volgt wijzigen:
•Druk op de toets H. Druk daarna twee keer op de toets pijltje
omlaag, ˜. Selecteer de modus Hoekmeting met de toets \
(tweede van links in de vijfde rij onder in het toetsenbord) of door op
de softmenutoets @CHOOS ( B) te drukken. Bij de tweede methode kunt
u de pijltjes omhoog en omlaag, —˜, gebruiken om de gewenste
modus te selecteren. Druk daarna op de softmenutoets !!@@OK#@ om de
handeling te voltooien. In het volgende scherm is bijvoorbeeld de
modus Radians geselecteerd:
Blz. 1-15
Coördinatenstelsel
Als u het coördinatenstelsel selecteert, heeft dit invloed op de manier
waarop vectoren en complexe getallen worden weergegeven en
ingevoerd. Raadpleeg hoofdstuk 4 en 8 in deze handleiding voor meer
informatie over respectievelijk complexe getallen en vectoren . De
rekenmachine beschikt over drie soorten coördinatenstelsels: Rechthoekig
(RECT), Cilindrisch (CYLIN) en bolvormig (SPHERE). Zo wijzigt u het
coördinatenstelsel:
•Druk op de toets H. Druk daarna drie keer op de toets pijltje
omlaag, ˜. Selecteer de modus Coord System door op de toets \
(tweede van links in de vijfde rij onder in het toetsenbord) of doorop de
softmenutoets @CHOOS ( B) te drukken. Bij de tweede methode kunt u
de pijltjes omhoog en omlaag, —˜, gebruiken om de gewenste
modus te selecteren. Druk daarna op de softmenutoets !!@@OK#@ ( F)
om de handeling te voltooien. In het volgende scherm is bijvoorbeeld
het coördinatenstelsel Polar geselecteerd:
CAS-instellingen selecteren
CAS is een afkorting van Computer Algebraic System, oftewel algebraïsch
computersysteem. Dit is het wiskundige hart van de rekenmachine waar de
symbolische wiskundige handelingen en functies zijn geprogrammeerd.
Het CAS biedt een aantal instellingen die kunnen worden aangepast aan
de gewenste handeling. Zo krijgt u de mogelijke CAS-instellingen te zien:
•Druk op de toets H om het invoervenster CALCULATOR MODES te
openen.
Blz. 1-16
•Druk op de softmenutoets @@ CAS@@ om de CAS-instellingen te wijzigen.
Hier volgen de standaardwaarden van de CAS-instellingen:
• Met de pijltjestoetsen kunt u door de vele opties van het invoervenster
CAS MODES navigeren: š™˜—.
• Als u een van de bovenstaande instellingen wilt selecteren of
deselecteren, moet u het onderliggende streepje voor de gewenste
optie selecteren en op de softmenutoets drukken totdat u de
gewenste instelling ziet. Als er een optie is geselecteerd, verschijnt er
een vinkje op het onderliggende streepje (bijvoorbeeld de
bovenstaande opties Rigorous en Simp Non-Rational). De niet-
geselecteerde opties hebben geen vinkje op het onderliggende streepje
voor de gewenste optie (zoals de bovenstaande opties _Numeric,
_Approx, _Complex, _Verbose, _Step/Step, _Incr Pow ).
•Druk op de softmenutoets @@@OK@@@ als u alle gewenste opties in het
invoervenster CAS MODES heeft geselecteerd en gedeselecteerd . U
keert nu terug naar het invoervenster CALCULATOR MODES. Druk
nogmaals op de softmenutoets @@@OK@@@ om weer naar het normale
beeldscherm van de rekenmachine terug te keren.
Verklaring van de CAS-instellingen
•Indep var: de onafhankelijke variabele voor CAS-toepassingen.
Meestal VX = ‘X’.
• Modulo
: voor handelingen in modulaire rekenkunde heeft deze
variabele de coëfficiënt of modulo van de rekenkundige ring
(raadpleeg hoofdstuk 5 van de gebruikshandleiding van de
rekenmachine).
Blz. 1-17
•Numeric: als deze waarde is ingesteld, produceert de rekenmachine
een numerieke uitkomst of een uitkomst met zwevende komma bij
berekeningen. Er dient opgemerkt te worden dat constanten steeds
numeriek geëvalueerd zullen worden.
• Approx
: als deze waarde is ingesteld, gebruikt de modus Approximate
numerieke uitkomsten bij berekeningen. Als deze niet is aangevinkt,
staat de CAS in de modus Exact, die symbolische uitkomsten in
algebraïsche berekeningen geeft.
•Complex
: als deze waarde is ingesteld, zijn de handelingen voor
complexe getallen actief. Als deze niet is aangevinkt, staat de CAS in
de modus Real, d.w.z. dat de standaardwaarde dus berekeningen met
reële getallen zijn. Raadpleeg hoofdstuk 4 voor handelingen met
complexe getallen.
•Verbose
: als deze waarde is ingesteld, wordt er gedetailleerde
informatie bij bepaalde CAS-handelingen gegeven.
•Step/Step
: als deze waarde is ingesteld, worden de uitkomsten stap
voor stap gegeven voor bepaalde CAS-handelingen. Dit kan handig
zijn om de tussenliggende stappen in sommeringen, afgeleiden,
integralen, polynome handelingen (bijvoorbeeld synthetische delingen)
en matrixhandelingen te bekijken.
•Incr Pow
: Increasing Power (Oplopende machten) betekent dat als deze
waarde is ingesteld, polynome termen worden weergegeven in
oplopende volgorde van de machten van de onafhankelijke variabele.
• Rigorous
: als deze waarde is ingesteld, zal de rekenmachine de
absolute waardefunctie |X| niet vereenvoudigen naar X.
• Simp Non-Rational
: als deze waarde is ingesteld, probeert de
rekenmachine niet-rationele uitdrukkingen zoveel mogelijk te
vereenvoudigen.
Beeldschermmodi selecteren
Het beeldscherm van de rekenmachine kan naar wens worden aangepast
door verschillende beeldschermmodi te selecteren. Zo krijgt u de mogelijke
beeldscherminstellingen te zien:
•Druk eerst op de toets H om het invoervenster CALCULATOR MODES
te activeren. Druk in het invoervenster CALCULATOR MODES op de
softmenutoets @@DISP@ (D) om het invoervenster DISPLAY MODES weer
te geven.
Blz. 1-18
• Met de pijltjestoetsen kunt u door de vele opties van het invoervenster
DISPLAY MODES navigeren: š™˜—.
• Als u een van de bovenstaande aan te vinken instellingen wilt
selecteren of deselecteren, moet u het onderliggende streepje voor de
gewenste optie selecteren en op de softmenutoets drukken totdat
u de gewenste instelling krijgt. Als er een optie is geselecteerd,
verschijnt er een vinkje op het onderliggende streepje (bijvoorbeeld de
bovenstaande optie Textbook in de Stapelgeheugen:-regel). De
ongeselecteerde opties hebben geen vinkje op het onderliggende
streepje voor de gewenste optie (bijvoorbeeld de bovenstaande opties
_Small, _Full page, en _Indent ) in de bovenstaande Edit:-regel).
• Als u het lettertype voor het beeldscherm wilt selecteren, markeert u het
veld voor de optie Font: in het invoerveld DISPLAY MODES en drukt u
op de softmenutoets @CHOOS (B).
•Druk op de softmenutoets @@@OK@@@ als u alle gewenste opties in het
invoervenster DISPLAY MODES heeft geselecteerd en gedeselecteerd. U
keert nu terug naar het invoervenster CALCULATOR MODES. Druk
nogmaals op de softmenutoets @@@OK@@@ om weer terug te keren naar het
normale rekenmachinebeeldscherm.
Lettertype van het beeldscherm selecteren
Druk eerst op de toets H om het invoervenster CALCULATOR MODES te
activeren. Druk in het invoervenster CALCULATOR MODES op de
softmenutoets @@DISP@ (D) om het invoervenster DISPLAY MODES weer te
geven. Het veld Font: is gemarkeerd en de optie Ft8_0:system 8 is
geselecteerd. Dit is de standaardwaarde voor het lettertype van het
beeldscherm. Door op de softmenutoets @CHOOS (B) te drukken, krijgt u
een lijst met alle beschikbare systeemlettertypen, zie hieronder:
Blz. 1-19
De beschikbare opties zijn drie standaard System Fonts (grootten 8, 7 en
6) en een optie Browse... Met deze laatste optie kunt u door het geheugen
van de rekenmachine bladeren voor extra lettertypen die u heeft
aangemaakt (zie hoofdstuk 23) of in de rekenmachine heeft gedownload.
Oefen in het wijzigen van het lettertype van het beeldscherm van grootte 7
naar 6. Druk op de softmenutoets OK om de selectie te bevestigen. Druk
op de softmenutoets @@@OK@@@ als u een lettertype heeft geselecteerd om terug
te keren naar het invoervenster CALCULATOR MODES. , Druk nogmaals op
de softmenutoets @@@OK@@ om weer terug te keren naar het normale
rekenmachinebeeldscherm. De stapelgeheugenweergave wijzigt en u ziet
een ander lettertype.
Eigenschappen van de regeleditor selecteren
Druk eerst op de toets H om het invoervenster CALCULATOR MODES te
activeren. Druk in het invoervenster CALCULATOR MODES op de
softmenutoets @@DISP@ (D) om het invoervenster DISPLAY MODES weer te
geven. Druk een keer op de toets pijltje omlaag, ˜, om naar de Edit-
regel te gaan. In deze regel staan drie eigenschappen die kunnen worden
aangepast. Als deze eigenschappen zijn geselecteerd (aangevinkt),
worden de volgende effecten actief:
In hoofdstuk 2 van deze handleiding vindt u aanwijzingen over het
gebruik van de regeleditor.
Eigenschappen van het stapelgeheugen selecteren
Druk eerst op de toets H om het invoervenster CALCULATOR MODES te
activeren. Druk in het invoervenster CALCULATOR MODES op de
softmenutoets @@DISP@ (D) om het invoervenster DISPLAY MODES weer te
_Small Het lettertype wordt gewijzigd naar klein
_Full page De cursor wordt aan het eind van de regel geplaatst
_Indent Automatische inspringing van de cursor als er een
regelterugloop wordt ingevoerd
Blz. 1-20
geven. Druk een keer op de toets pijltje omlaag, ˜, om naar de Edit-
regel te gaan. In deze regel staan drie eigenschappen die kunnen worden
aangepast. Als deze eigenschappen zijn geselecteerd (aangevinkt),
worden de volgende effecten actief:
Ter illustratie van deze instellingen, zowel in de algebraïsche modus als de
RPN-modus, kunt u de vergelijkingenschrijver gebruiken om de volgende
definitieve integraal in te voeren:
‚O…Á0™„虄¸\x™x`
In de algebraïsche modus toont het volgende scherm het resultaat van
deze toetsencombinaties terwijl _Small en _Textbook beide niet zijn
geselecteerd:
Als alleen de optie _Small is geselecteerd, ziet het beeldscherm er als volgt
uit:
Als de optie _Textbook is geselecteerd (standaardwaarde), ongeacht of de
optie _Small is geselecteerd, geeft het beeldscherm het volgende resultaat
weer:
_Small Het lettertype wordt gewijzigd naar klein. Zo staat er
zoveel mogelijk informatie op het scherm. Let op, deze
selectie overschrijft het lettertype voor de stapelgeheugen-
weergave.
_Textbook De wiskundige uitdrukkingen worden in grafische
wiskundige notatie weergegeven.
Blz. 1-21
Eigenschappen van de vergelijkingenschrijver (EQW)
selecteren
Druk eerst op de toets H om het invoervenster CALCULATOR MODES te
activeren. Druk in het invoervenster CALCULATOR MODES op de
softmenutoets @@DISP@ (D) om het invoervenster DISPLAY MODES weer te
geven. Druk drie keer op de toets pijltje omlaag, ˜, om naar de regel
EQW (Vergelijkingenschrijver) te gaan. In deze regel staan twee
eigenschappen die kunnen worden aangepast. Als deze eigenschappen
zijn geselecteerd (aangevinkt), worden de volgende effecten actief:
Elders in deze handleiding vindt u uitgebreide aanwijzingen over het
gebruik van de vergelijkingeneditor (EQW).
In het bovenstaande voorbeeld van de integraal krijgt u het
volgende resultaat als u _Small Stack Disp selecteert in de EQW-regel van
het invoervenster DISPLAY MODES:
Referenties
Raadpleeg hoofdstuk 1 en Bijlage C in de gebruikshandleiding van de
rekenmachine voor extra verwijzingen naar de onderwerpen die in dit
hoofdstuk zijn besproken.
_Small De grootte van het lettertype wordt gewijzigd naar
klein tijdens het gebruik van de vergelijkingeneditor
_Small Stack Disp Een klein lettertype wordt in het stapelgeheugen
weergegeven na het gebruik van de
vergelijkingeneditor
∫
∞
−
0
dXe
X
Blz. 2-1
Hoofdstuk 2
Introductie van de rekenmachine
In dit hoofdstuk laten wij u een aantal basishandelingen van de
rekenmachine zien, waaronder het gebruik van de Vergelijkingenschrijver
en het bewerken van gegevensobjecten in de rekenmachine. Bestudeer de
voorbeelden in dit hoofdstuk goed zodat u de functies van de
rekenmachine in de toekomst optimaal kunt gebruiken.
Objecten van de rekenmachine
De meest gebruikte objecten zijn: reële getallen (echte getallen,
geschreven met een punt, bijvoorbeeld –0.0023, 3.56), hele getallen
(geschreven zonder punt, bijvoorbeeld 1232, -123212123), complexe
getallen (geschreven als een geordend paar, bijvoorbeeld (3,-2)), lijsten,
enz. Raadpleeg hoofdstuk 2 en 24 in de gebruikshandleiding van de
rekenmachine voor meer informatie over rekenmachineobjecten.
Uitdrukkingen in het stapelgeheugen
bewerken
In deze paragraaf behandelen we voorbeelden van uitdrukkingen die
direct in het beeldscherm van de rekenmachine of in het stapelgeheugen
kunnen worden bewerkt.
Rekenkundige uitdrukkingen maken
Voor dit voorbeeld selecteren we de bedieningsmodus Algebraic en
selecteren we de opmaak Fix met 3 decimalen voor het beeldscherm. We
voeren de volgende rekenkundige uitdrukking in:
Voer deze uitdrukking in met de volgende toetsencombinaties:
5.*„Ü1.+1/7.5™/
„ÜR3.-2.Q3
U krijgt dan de volgende uitdrukking: 5*(1+1/7.5)/(
√3-2^3).
Druk op ` om de uitdrukking als volgt in het beeldscherm te krijgen:
3
0.20.3
5.7
0.1
0.1
0.5
−
+
⋅
Blz. 2-2
U ziet dat als het CAS is ingesteld op EXACT (zie Bijlage C in de
gebruikshandleiding) en u de uitdrukking met hele getallen invoert, het
resultaat een symbolische hoeveelheid is, bijvoorbeeld:
5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3
Voordat de uitkomst wordt berekend, wordt u gevraagd de modus
Approximate in te stellen. Accepteer de wijziging om de volgende uitkomst
te krijgen (weergegeven met de decimalenmodus Fix met drie decimalen –
zie hoofdstuk 1):
Als de uitdrukking rechtstreeks in het stapelgeheugen wordt ingevoerd, zal
de rekenmachine in dit geval een waarde voor de uitdrukking proberen te
berekenen als u op ` drukt. Als de uitdrukking voorafgegaan wordt door
een omgekeerde komma, zal de rekenmachine de uitdrukking echter
weergeven zoals hij is ingevoerd. Bijvoorbeeld:
³5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3`
Het resultaat ziet er als volgt uit:
Om de uitdrukking te evalueren, kunnen we de EVAL-functie als volgt
gebruiken:
µ„î`
Blz. 2-3
Als het CAS is ingesteld op Exact, wordt u gevraagd de wijziging van de
CAS-instelling naar Approx goed te keuren. Als dit is gedaan, krijgt u
hetzelfde resultaat als voorheen.
U kunt de uitdrukking tussen aanhalingstekens die eerder is ingevoerd ook
evalueren door de optie …ï gebruiken.
We voeren nu de bovenstaande uitdrukking in als de rekenmachine is
ingesteld op de bedieningsmodus RPN. We stellen de CAS ook in op
Exact, het beeldscherm op Textbook en de getallenweergave op
Standaard. De toetsencombinaties waarmee u de uitdrukking tussen
aanhalingstekens kunt invoeren, zijn dezelfde als die we eerder hebben
gebruikt, dus:
³5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3`
Het resultaat ziet er als volgt uit:
Druk een keer op ` om twee kopieën van de uitdrukking in het
stapelgeheugen op te slaan voor evaluatie. We evalueren eerst de
uitdrukking door het intoetsen van:
µ!î` or @ï`
Deze uitdrukking is semi-symbolisch, omdat er onderdelen met zwevende
punten in de uitkomst staan, net als een
√3. Daarna wijzigen we de
locaties van het stapelgeheugen [d.m.v. ™] en evalueren we met de
functie NUM, bijv., ™…ï.
De laatste uitkomst is puur numeriek, zodat de twee resultaten in het
stapelgeheugen er anders uitzien, hoewel ze voor dezelfde uitdrukking
staan. Om te controleren of ze inderdaad hetzelfde zijn, trekken we de
twee waarden van elkaar af en evalueren we dit verschil met de functie
EVAL: -µ. De uitkomst is nul (0.).
Raadpleeg hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over het bewerken van wiskundige uitdrukkingen in
het beeldscherm of in het stapelgeheugen van de rekenmachine.
Blz. 2-4
Algebraïsche uitdrukkingen maken
Algebraïsche uitdrukkingen omvatten niet alleen getallen, maar ook
variabelennamen. Als voorbeeld voeren we de volgende algebraïsche
uitdrukking in de rekenmachine in:
We stellen de bedieningsmodus van de rekenmachine in op Algebraic, het
CAS op Exact en het beeldscherm op Textbook. Voer deze algebraïsche
uitdrukking in met de volgende toetsencombinaties:
³2*~l*R„Ü1+~„x/
~r™/„Ü~r+~„y™+2*~l/
~„b
Druk op ` voor het volgende resultaat:
Het invoeren van deze uitdrukking terwijl de rekenmachine is ingesteld op
de RPN-modus, gebeurt op dezelfde manier als wanneer de rekenmachine
in de modus Algebraic staat.
Raadpleeg hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over het bewerken van algebraïsche uitdrukkingen in
het beeldscherm of in het stapelgeheugen van de rekenmachine.
De vergelijkingenschrijver (EQW) gebruiken
om uitdrukkingen te maken
De vergelijkingenschrijver is een bijzonder handige voorziening waarmee
u niet alleen een vergelijking kunt invoeren of bekijken, maar waarmee u
functies ook kunt aanpassen en gebruiken/toepassen op de gehele
vergelijking of delen daarvan.
U start de vergelijkingenschrijver door op de toetsencombinatie ‚O
(de derde toets in de vierde rij boven in het toetsenbord) te drukken. Het
b
L
yR
R
x
L
2
12
+
+
+
Blz. 2-5
scherm wordt als volgt weergegeven. Druk op L voor de tweede
menupagina:
De zes softmenutoetsen voor de vergelijkingenschrijver activeren de
functies EDIT, CURS, BIG, EVAL, FACTOR, SIMPLIFY, CMDS en HELP. Deze
functies worden uitvoerig beschreven in hoofdstuk 3 in de
gebruikshandleiding van de rekenmachine.
Rekenkundige uitdrukkingen maken
De manier waarop rekenkundige uitdrukkingen in de
vergelijkingenschrijver worden ingevoerd, lijkt erg op de manier waarop
een rekenkundige uitdrukking in het stapelgeheugen tussen
aanhalingstekens wordt ingevoerd. Het grootste verschil is dat in de
vergelijkingenschrijver de uitdrukkingen in de stijl “textbook” worden
geschreven en niet in een regelinvoerstijl. Voer bijvoorbeeld de volgende
toetsencombinaties in het scherm van de vergelijkingenschrijver:
5/5+2
De volgende uitdrukking wordt weergegeven:
De cursor wordt weergegeven als een pijltje naar links. De cursor geeft de
huidige bewerkingslocatie aan. Typ bijvoorbeeld bij de cursor op de
bovenstaande locatie:
*„Ü5+1/3
De bewerkte uitdrukking ziet er als volgt uit:
Blz. 2-6
Stel dat u de getallen tussen de haakjes in de noemer wilt vervangen (dus
5+1/3) door (5+
π
2
/2). We gebruiken eerst de deletetoets (ƒ) om de
huidige uitdrukking 1/3 te wissen en daarna vervangen we die breuk als
volgt door
π
2
/2:
ƒƒƒ„ìQ2
Het scherm ziet er dan als volgt uit:
Om de noemer 2 in de uitdrukking in te voegen moeten we de volledige
uitdrukking
π
2
markeren. Dat doen we door een keer op de toets pijltje
rechts (™) te drukken. We voeren vervolgens de volgende
toetsencombinatie in:
/2
De uitdrukking ziet er nu als volgt uit:
Stel dat u nu de breuk 1/3 wilt toevoegen aan de gehele uitdrukking. U
wilt dus de volgende uitdrukking invoeren:
We moeten eerst de volledige eerste term markeren door het pijltje rechts (
™) of het pijltje omhoog ( —) herhaaldelijk in te drukken, totdat de
gehele uitdrukking is gemarkeerd. In totaal moet u dus zeven keer drukken.
Dat geeft het volgende resultaat:
3
1
)
2
5(25
5
2
+
+⋅+
π
Blz. 2-7
Als de uitdrukking is gemarkeerd zoals hierboven, voert u +1/
3 in om de breuk 1/3 toe te voegen. Het resultaat is:
Algebraïsche uitdrukkingen maken
Een algebraïsche uitdrukking lijkt sterk op een rekenkundige uitdrukking,
alleen kunnen er Nederlandse en Griekse letters in voorkomen. Het maken
van een algebraïsche uitdrukking volgt daarom dezelfde lijn als die van
het maken van een rekenkundige uitdrukking, alleen wordt er een
alfabetisch toetsenbord gebruikt.
We gebruiken het volgende voorbeeld om het gebruik van de
vergelijkingenschrijver voor het invoeren van een algebraïsche vergelijking
te illustreren. Stel dat we de volgende uitdrukking willen invoeren:
Gebruik de volgende toetsencombinaties:
2/R3™™*~‚n+„¸\~‚m
™™*‚¹~„x+2*~‚m*~‚c
~„y———/~‚tQ1/3
N.B.: een andere manier is om vanuit de oorspronkelijke positie van
de cursor (rechts van de 2 in de noemer van
π
2
/2) de
toetsencombinatie ‚— geïnterpreteerd als (‚‘) in te drukken.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆⋅+
⋅+
−
3/1
2
3
2
θ
µ
λ
µ
yx
LNe
Blz. 2-8
uitkomst:
In dit voorbeeld gebruiken we meerdere kleine Nederlandse letters,
bijvoorbeeld x (~„x), enkele Griekse letters, bijvoorbeeld l
(~‚n) en zelfs een combinatie van Griekse en Nederlandse letters,
namelijk Dy (~‚c~„y). Om een kleine letter in te voeren,
moet u de combinatie ~„ gebruiken gevolgd door de letter die u wilt
invoeren . U kunt speciale tekens ook kopiëren door het menu CHARS
(…±) te gebruiken als u de betreffende toetsencombinaties niet uit uw
hoofd wilt leren. In Appendix D van de gebruikshandleiding vindt u een
lijst met veel gebruikte toetsencombinaties met ~‚.
Raadpleeg hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over het bewerken, evalueren, factoriseren en
vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen.
Gegevens organiseren in de rekenmachine
U kunt de gegevens in de rekenmachine organiseren door variabelen in
een directory-structuur op te slaan. De basis van de directory-structuur van
de rekenmachine is de HOME-directory die we hierna zullen bespreken.
De HOME-directory
U komt in de HOME-directory door – zo vaak als nodig – op de functie
UPDIR („§) te drukken, totdat {HOME} in de tweede regel van de
kop van het beeldscherm verschijnt. U kunt ook op „ (vasthouden)
§drukken. In dit voorbeeld bevat de HOME-directory alleen de
CASDIR. Door op J te drukken, verschijnen de variabelen in de
softmenutoetsen:
Blz. 2-9
Subdirectory's
Als u de gegevens in een goedgeorganiseerde directory-structuur wilt
opslaan, kunt u subdirectory’s aanmaken onder de HOME-directory, en
meer subdirectory’s binnen de subdirectory’s. Deze hiërarchie van
directory’s lijkt op de mapstructuur in een computer.
Variabelen
Variabelen lijken op de bestanden in de harde schijf van een computer.
Een variabele kan een object (numerieke waarden, algebraïsche
uitdrukkingen, lijsten, vectoren, matrices, programma’s, enz.) opslaan.
Variabelen hebben namen die kunnen bestaan uit elke combinatie van
alfabetische en numerieke tekens, maar die moeten beginnen met een
letter (Nederlands of Grieks). De naam van een variabele mag ook enkele
niet-alfabetische tekens bevatten, zoals het pijltje (
→), maar deze moeten
wel met een alfabetisch teken worden gecombineerd. ‘
→A’ is dus een
geldige variabelennaam, maar ‘
→’ niet. Geldige voorbeelden van
variabelennamen zijn: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘
α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’,
‘A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, enz.
Een variabele kan niet dezelfde naam krijgen als een functie van de
rekenmachine. De volgende namen zijn gereserveerd voor de
rekenmachine: ALRMDAT, CST, EQ, EXPR, IERR, IOPAR, MAXR, MINR,
PICT, PPAR, PRTPAR, VPAR, ZPAR, der_, e, i, n1,n2, …, s1, s2, …,
ΣDAT,
ΣPAR, π, ∞.
Variabelen kunnen worden georganiseerd in subdirectory’s (raadpleeg
hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine).
Variabelennamen invoeren
Als u variabelen wilt benoemen, moet u strings van letters achter elkaar
invoeren, mogelijk in combinatie met getallen. Om strings met tekens in te
voeren, kunt u het alfabetische toetsenbord als volgt vergrendelen:
~~ vergrendelt het alfabetische toetsenbord voor hoofdletters. Als het
toetsenbord op deze manier is vergrendeld, moet u op „ drukken voor
kleine letters, terwijl u op ‚ moet drukken om met een lettertoets een
speciaal teken te krijgen. Als het alfabetische toetsenbord al voor
hoofdletters is vergrendeld, kunt u het voor kleine letters vergrendelen met
„~~~„~ vergrendelt het toetsenbord voor kleine letters.
Als het toetsenbord op deze manier is vergrendeld, moet u op „
drukken om met een lettertoets een hoofdletter te kunnen typen. Om de
kleine letters te ontgrendelen, drukt u op „~
Om de hoofdletters te ontgrendelen, drukt u op ~
Blz. 2-10
Probeer de volgende oefeningen:
~~math`
~~m„a„t„h`
~~m„~at„h`
de rekenmachine geeft het volgende weer (links de Algebraic-modus,
rechts de RPN-modus):
Variabelen maken
De eenvoudigste manier om een variabele te maken is met K. De
volgende voorbeelden worden gebruikt om de variabelen in de volgende
tabel op te slaan (druk op J om het variabelenmenu te bekijken):
De Algebraïsche modus
Zo slaat u de waarde –0.25 op in variabele α:
0.25\K~‚a. Het scherm ziet er als volgt zo uit:
Druk op ` om de variabele te maken. De variabele wordt nu
weergegeven in de labels van de softmenutoets
:
Naam Inhoud Type
α -0.25 reëel
A12 3
×10
5
reëel
Q ‘r/(m+r)' algebraïsch
R[3,2,1] vector
z1 3+5i complex
p1
<<
→ r 'π*r^2'
>>
programma
Blz. 2-11
Dit zijn de toetsencombinaties voor de overgebleven variabelen:
A12: 3V5K~a12`
Q: ~„r/„Ü
~„m+~„r™™K~q`
R: „Ô3‚í2‚í1™K~r`
z1:3+5*„¥K~„z1`(Accepteer
wijziging naar de modus Complex als hierom wordt gevraagd).
p1: ‚å‚é~„r³„ì*
~„rQ2™™™K~„p1`
Het scherm ziet er nu als volgt uit:
U ziet zes van de zeven variabelen die onder in het scherm worden
vermeld: p1, z1, R, Q, A12,
α
.
De RPN-modus
(Gebruik H\@@OK@@ om naar de RPN-modus te wijzigen). Gebruik de
volgende toetsencombinaties om de waarde –0.25 in variabele α op te
slaan: .25\`³~‚a`. Het scherm ziet er nu
als volgt uit:
Met –0,25 op het niveau 2 van de stapel en 'α' op het niveau 1 van de
stapel, kunt u de K toets gebruiken om de variabele te scheppen. De
variabele wordt nu weergegeven in de labels van de softmenutoets zodra
u Jindrukt:
Ch02_Introductie van de rekenmachine.fm Page 11 Friday, November 25, 2005 2:33 PM
Blz. 2-12
We kunnen de waarde 3×10
5
op een snellere manier invoeren in A12:
3V5³~a12`K
Zo kunt u de inhoud van Q invoeren:
Q: ~„r/„Ü
~„m+~„r™™³~q`K
We kunnen de waarde R nog sneller invoeren:
R: „Ô3#2#1™³~aK
De spatietoets
(
#) kan gebruikt worden om de elementen van een
vector in de RPN-modus van elkaar te scheiden in plaats van met een
komma (‚í die in de Algebraic-modus in het bovenstaande
voorbeeld is gebruikt.
z1: ³3+5*„¥³~„z1K
p1: ‚å‚é~„r³„ì*
~„rQ2™™™³~„p1™`K.
Het scherm ziet er nu als volgt uit:
U ziet zes van de zeven variabelen die onder in het scherm worden
vermeld: p1, z1, R, Q, A12, α.
Inhoud van variabelen controleren
De eenvoudigste manier om de inhoud van een variabele te controleren, is
door op het label van de softmenutoets voor de variabele te drukken. Druk
bijvoorbeeld voor de variabelen die hierboven worden vermeld op de
volgende toetsen om de inhoud van de variabelen te bekijken:
De Algebraïsche modus
Voer deze toetsencombinaties in: J@@z1@@ ` @@@R@@ `@@@Q@@@`. Het
scherm ziet er nu als volgt uit:
Ch02_Introductie van de rekenmachine.fm Page 12 Sunday, March 26, 2006 12:00 PM
Blz. 2-13
De RPN-modus
In de RPN-modus hoeft u alleen op het label van de bijbehorende
softmenutoetsen te drukken om de inhoud van een numerieke of
algebraïsche variabele te bekijken. In dit geval kunnen we proberen of we
de inhoud van de variabelen z1, R, Q, A12 en α kunnen bekijken, die we
hierboven hebben aangemaakt:: J@@z1@@ @@@R@@ @@@Q@@ @@A12@@ @@»@@
Het scherm ziet er nu als volgt uit:
Toets rechts-shift gevolgd door labels van softmenutoetsen
gebruiken
In Algebraïsceh modus kan u de inhoud van een variabele weergeven
door J@in te toetsen en vervolgens de overeenstemmende
softmenutoets. Probeer het volgende voorbeeld:
J‚@@p1@@ ‚ @@z1@@ ‚ @@@R@@ ‚@@@Q@@ ‚ @@A12@@
Merk op dat in de RPN modus het niet nodig is om Jin te toetsen; @
and en vervolgens de overeenstemmende softmenutoets, volstaan.
Het scherm ziet er nu als volgt uit (links staat de Algebraic-modus, rechts
de RPN-modus)
Ch02_Introductie van de rekenmachine.fm Page 13 Monday, March 27, 2006 1:40 PM
Blz. 2-14
U ziet dat de inhoud van programma p1 nu op het scherm worden
weergegeven. U kunt de overgebleven variabelen in deze directory zien
met: L
Inhoud van alle variabelen op het scherm weergeven
Met de toetsencombinaties ‚˜ kunt u de inhoud van alle variabelen
op het scherm weergeven. Bijvoorbeeld:
Druk op $ om naar het normale beeldscherm van de rekenmachine
terug te keren.
Variabelen verwijderen
De eenvoudigste manier om een variabele te verwijderen, is met de functie
PURGE. Deze functie is direct toegankelijk via het menu TOOLS (I) of
via het menu FILES „¡@@OK@@ .
De functie PURGE gebruiken in het stapelgeheugen in de
Algebraïsche modus
Onze lijst met variabelen bevat de variabelen p1, z1, Q, R en a. Met het
commando PURGE wordt variabele p1 verwijderd. Druk op
I@PURGE@J@@p1@@ `. Het scherm laat nu zien dat variabele p1 is
verwijderd:
U kunt het commando PURGE gebruiken om meerdere variabelen te
verwijderen door de namen in een lijst in het argument van PURGE te
plaatsen. Als we bijvoorbeeld variabelen R en Q tegelijkertijd willen
verwijderen, kunnen we de volgende oefening proberen. Druk op:
I@PURGE@ „ä³J@@@R!@@ ™ ‚í³J@@@Q!@@
Het scherm geeft nu het volgende commando weer dat kan worden
uitgevoerd:
Blz. 2-15
Druk op ` om het verwijderen van de variabelen te voltooien. Het
scherm geeft nu de overgebleven variabelen weer:
De functie PURGE gebruiken in het stapelgeheugen in de RPN-
modus
We gaan er vanuit dat onze lijst met variabelen de variabelen p1, z1, Q,
R en a bevat. Met het commando PURGE wordt variabele p1 verwijderd.
Druk op ³@@p1@@ `I@PURGE@. Het scherm laat nu zien dan variabele
p1 is verwijderd:
Om twee variabelen tegelijkertijd te verwijderen, bijvoorbeeld variabelen
R en Q, maken we eerst een lijst (in de RPN-modus hoeven de elementen
in de lijst niet te worden gescheiden door komma’s zoals in de Algebraic-
modus).
J„ä³@@@R!@@ ™³@@@Q!@@ `
Druk vervolgens op I@PURGE@ om de variabelen te verwijderen.
Raadpleeg hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over het bewerken van variabelen.
De functies UNDO en CMD
De functies UNDO en CMD zijn handig voor het oproepen van recent
gebruikte commando’s of om een handeling terug te draaien als er een
fout is gemaakt. Deze functies zitten onder de HIST-toets: UNDO wordt
uitgevoerd met de toetsen ‚¯, terwijl CMD wordt uitgevoerd met de
toetsencombinatie „®.
Blz. 2-16
CHOOSE boxes en Soft-MENU
In sommige oefeningen in dit hoofdstuk hebben we menulijsten met
commando’s op het scherm gezien. Deze menulijsten noemen we ook wel
CHOOSE boxes. De volgende oefening is bedoeld om u te laten zien u
hoe u van CHOOSE boxes naar Soft-MENU’s en andersom kunt wijzigen.
Hoewel we geen specifiek voorbeeld gebruiken, laat deze oefening de
twee opties voor menu’s in de rekenmachine zien (CHOOSE boxes en soft-
MENU’s). We gebruiken in deze oefening het commando ORDER om de
variabelen te sorteren in een directory. De te volgen stappen worden
getoond voor de Algebraïsche modus:
„°˜ Toon menulijst PROG en selecteer MEMORY
@@OK@@˜˜˜˜
Toon menulijst MEMORY en selecteer DIRECTORY
@@OK@@ —— Toon menulijst DIRECTORY en selecteer ORDER
Blz. 2-17
Er bestaat een andere manier om deze menu’s te openen met soft-MENU-
toetsen: door systeemvlag 117 in te stellen. (Raadpleeg hoofdstuk 2 en 24
in de gebruikshandleiding van de rekenmachine voor meer informatie over
vlaggen). Probeer deze vlag als volgt in te stellen:
H @FLAGS! ———————
Het scherm geeft weer dat vlag 117 niet is ingesteld (CHOOSE boxes),
zoals u hier kunt zien:
Druk op de softmenutoets om vlag 117 in te stellen op soft MENU.
U ziet deze wijziging op het scherm:
Tweemaal op @@OK@@ drukken om naar het normale beeldscherm van de
rekenmachine terug te keren.
We proberen nu het commando ORDER te zoeken door gelijkwaardige
toetsencombinaties te gebruiken zoals hierboven. We beginnen met
„°. In plaats van een menulijst verschijnen er softmenulabels met
verschillende opties in het menu PROG:
@@OK@@OK@@ Activeer het commando ORDER
Blz. 2-18
Druk op B om softmenu MEMORY ()@@MEM@@) te selecteren. Het
beeldscherm zier er nu als volgt uit:
Druk op E om softmenu DIRECTORY )@@DIR@@) te selecteren.
Het commando ORDER verschijnt niet in het scherm. We gebruiken de
toets L om het commando te zoeken:
We activeren het commando ORDER met de softmenutoets C(@ORDER).
Referenties
Raadpleeg hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over het invoeren en bewerken van uitdrukkingen in
het beeldscherm of in de vergelijkingenschrijver. Raadpleeg Bijlage C in
de gebruikshandleiding van de rekenmachine voor CAS-instellingen
(Computer Algebraic System). Raadpleeg hoofdstuk 24 in de
gebruikshandleiding van de rekenmachine voor meer informatie over
vlaggen.
Opmerking: de meeste voorbeelden in deze gebruikershandleiding
gaan er van uit dat de huidige instelling van vlag 117 de default
waarde is (dat wil zeggen: niet is geplaatst).Indien u de vlag heeft
geplaatst, doch strikt de voorbeelden in deze handleiding wenst te
volgen, dient u de vlag te verwijderen alvorens verder te gaan.
Blz. 3-1
Hoofdstuk 3
Berekeningen met reële getallen
In dit hoofdstuk laten we het gebruik van de rekenmachine voor
handelingen en functies met betrekking tot reële getallen zien. We gaan er
vanuit dat de gebruiker bekend is met het toetsenbord zodat hij bepaalde
functies op het toetsenbord herkent (bijvoorbeeld SIN, COS, TAN, enz.).
We gaan er ook vanuit dat de lezer weet hoe hij het besturingssysteem
van de rekenmachine kan wijzigen (hoofdstuk 1), menu’s en kiesvakjes
kan gebruiken (hoofdstuk 1) en met variabelen kan werken (hoofdstuk 2).
Voorbeelden van berekeningen met reële
getallen
Bij berekeningen met reële getallen kan het CAS het beste worden
ingesteld op de modus Real (en niet Complex). De modus Exact is de
standaardmodus voor de meeste handelingen. U kunt uw berekeningen
dus het beste op deze manier starten.
Hierna worden enkele handelingen met reële getallen geïllustreerd:
•Gebruik de toets \ om het merkteken van een getal te wijzigen.
Bijvoorbeeld in de ALG-modus, \2.5`.
In de RPN-modus bijvoorbeeld 2.5\.
•Gebruik de toets Y om de inversie van een getal te wijzigen.
Bijvoorbeeld in de ALG-modus Y2`.
Gebruik in de RPN-modus 4Y.
• Gebruik voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigingen en delingen de
juiste toets, namelijk +-*/.
Voorbeelden in de ALG-modus:
3.7+5.2`
6.3-8.5`
4.2*2.5`
2.3/4.5`
Voorbeelden in de RPN-modus:
3.7` 5.2+
6.3` 8.5-
4.2` 2.5*
2.3` 4.5/
Blz. 3-2
Daarnaast kunt u in de RPN-modus de operanden scheiden met een spatie
(#) voordat u op de operatortoets drukt. Voorbeelden:
3.7#5.2+
6.3#8.5-
4.2#2.5*
2.3#4.5/
• U kunt haakjes („Ü) gebruiken om handelingen te groeperen, of
om argumenten van functies in te sluiten.
In de ALG-modus:
„Ü5+3.2™/„Ü7-
2.2`
In de RPN-modus hoeft u geen haakjes te gebruiken, de berekening
wordt meteen in het stapelgeheugen uitgevoerd:
5`3.2+7`2.2-/
Door de uitdrukking tussen aanhalingstekens in te voeren, kunt u in de
RPN-modus de uitdrukking op dezelfde manier invoeren als in de
Algebraic-modus invoeren:
³„Ü5+3.2™/
„Ü7-2.2`µ
Voor zowel de ALG- als de RPN-modus kunt u de vergelijkingenschrijver
gebruiken:
‚O5+3.2™/7-2.2
De uitdrukking kan worden geëvalueerd binnen de
vergelijkingenschrijver door het gebruik van:
————@EVAL@ of ‚—@EVAL@
• De absolute waardefunctie, ABS, wordt verkregen via „Ê.
Voorbeeld in de ALG-modus:
„Ê\2.32`
Voorbeeld in de RPN-modus:
2.32\„Ê
• De kwadraatfunctie, SQ, wordt verkregen via „º.
Voorbeeld in de ALG-modus:
„º\2.3`
Voorbeeld in de RPN-modus:
2.3\„º
Blz. 3-3
De vierkantswortelfunctie, √, wordt verkregen via toets R. Bij het
berekenen van de stapel in de ALG-modus, moet u de functie voor het
argument invoeren. Bijvoorbeeld:
R123.4`
In de RPN-modus voert u eerst het getal in en daarna de functie.
Bijvoorbeeld:
123.4R
• De machtfunctie, ^, wordt verkregen via toets Q. Bij het berekenen
van de stapel in de ALG-modus, voert u de basis (y) in gevolgd door de
toets Q en daarna de exponent (x). Bijvoorbeeld:
5.2Q1.25`
In de RPN-modus voert u eerst het getal in en daarna de functie.
Bijvoorbeeld:
5.2`1.25Q
• De wortelfunctie, XROOT(y,x), wordt verkregen via de
toetsencombinatie ‚». Bij het berekenen van de stapel in de ALG-
modus, moet u de functie XROOT gevolgd door de argumenten (y,x) en
gescheiden door komma’s invoeren. Bijvoorbeeld:
‚»3‚í27`
In de RPN-modus voert u eerst het argument y in, daarna x en als
laatste de functie. Bijvoorbeeld:
27`3‚»
• Logaritmen met natuurlijk grondtal 10 worden berekend met de
toetsencombinatie ‚Ã (functie LOG) terwijl de inverse functie
(ALOG of antilogaritme) wordt berekend met „Â. In de ALG-
modus wordt de functie ingevoerd voor het argument:
‚Ã2.45`
„Â\2.3`
In de RPN-modus wordt het argument ingevoerd voor de functie:
2.45‚Ã
2.3\„Â
Tiende machten gebruiken om gegevens in te voeren
Tiende machten, dus getallen in de vorm –4,5×10
-2
, enz. worden
ingevoerd met de toets V. Voorbeeld in de ALG-modus:
\4.5V\2`
Of in de RPN-modus:
Blz. 3-4
4.5\V2\`
• Natuurlijke logaritmen worden berekend met ‚¹ (functie LN)
terwijl de exponentiële functie (EXP) wordt berekend met „¸. In
de ALG-modus wordt de functie voor het argument ingevoerd:
‚¹2.45`
„¸\2.3`
In de RPN-modus wordt het argument voor de functie ingevoerd:
2.45`‚¹
2.3\`„¸
• Er zijn drie trigonometrische functies in het toetsenbord beschikbaar:
sinus (S), cosinus (T) en tangens (U). De argumenten van deze
functies zijn hoeken in graden, radialen en decimale graden. De
volgende voorbeelden gebruiken hoeken in graden (DEG):
In de ALG-modus:
S30`
T45`
U135`
In de RPN-modus:
30S
45T
135U
• De inverse trigonometrische functies in het toetsenbord zijn de
boogsinus („¼), boogcosinus („¾) en boogtangens
(„À). Het antwoord van deze functies wordt gegeven in de
geselecteerde hoekmeting (DEG, RAD, GRD). Hieronder worden enkele
voorbeelden gegeven:
In de ALG-modus:
„¼0.25`
„¾0.85`
„À1.35`
In de RPN-modus:
0.25„¼
0.85„¾
1.35„À
Alle functies die hierboven worden beschreven, ABS, SQ,
√, ^, XROOT,
LOG, ALOG, LN, EXP, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, kunnen
Blz. 3-5
worden gecombineerd met de fundamentele handelingen (+-
*/) om zo meer complexe uitdrukkingen te vormen. De
vergelijkingenschrijver, die in hoofdstuk 2 wordt beschreven, is ideaal
voor het maken van deze uitdrukkingen, ongeacht de bedieningsmodus
van de rekenmachine.
Functies voor reële getallen in het menu MTH
Het menu MTH („´) bevat een aantal wiskundige functies die vooral
toepasbaar zijn op reële getallen. Met systeemvlag 117 ingesteld op de
standaardinstelling CHOOSE boxes (zie hoofdstuk 2), geeft het menu
MTH de volgende functies weer:
De functies zijn geordend op het argumenttype (1. vectoren, 2. matrices,
3. lijsten, 7. waarschijnlijkheid, 9. complex) of op het functietype (4.
hyperbolen, 5. reëel, 6. basis, 8. fft). Het bevat ook een invoer voor de
wiskundige constanten die beschikbaar zijn in de rekenmachine, invoer
10.
Let over het algemeen goed op het getal en de volgorde van de
argumenten die nodig zijn voor elke functie. Vergeet ook niet dat in de
ALG-modus u eerst de functie moet selecteren en daarna pas het argument
moet invoeren. In de RPN-modus moet u daarentegen eerst het argument in
de stapel invoeren en daarna de functie selecteren.
Rekenmachinemenu’s gebruiken:
1. We bespreken hier uitvoerig het gebruik van het menu 4.
HYPERBOLIC.. om zo de algemene werking van de
rekenmachinemenu’s te laten zien. Let goed op bij de procedure voor
het selecteren van verschillende opties.
2. Om snel een van de genummerde opties in een menulijst (of CHOOSE
box) te selecteren, kunt u eenvoudig op het nummer voor de optie op
het toetsenbord drukken. Druk op 4 als u bijvoorbeeld optie 4.
HYPERBOLIC.. in het menu MTH wilt selecteren .
Blz. 3-6
Hyperbolische functies en de tegenwaarden
Als u optie 4. HYPERBOLIC.. selecteert in het menu MTH en daarna op
@@OK@@ drukt, verschijnt het menu voor hyperbolische functies:
In de ALG-modus is de toetsencombinatie voor bijvoorbeeld tanh(2.5) de
volgende:
„´4@@OK@@ 5@@OK@@ 2.5`
In de RPN-modus zijn de toetsencombinaties voor deze berekening de
volgende:
2.5`„´4@@OK@@ 5@@OK@@
De bovenstaande handelingen gaan er vanuit dat u de standaardinstelling
voor systeemvlag 117 (CHOOSE boxes) gebruikt. Als u de instelling van
deze vlag heeft gewijzigd (zie hoofdstuk 2) naar SOFT menu, wordt het
menu MTH als volgt weergegeven (links in de ALG-modus, rechts in de
RPN-modus):
Als u op L drukt, worden de overgebleven opties weergegeven:
Als u bijvoorbeeld het menu voor hyperbolische functies wilt selecteren,
drukt u met deze menuopmaak op )@@HYP@ en dan krijgt u:
Blz. 3-7
Als u tenslotte bijvoorbeeld de functie hyperbolische tangens (tanh) wilt
selecteren, drukt u op @@TANH@.
Als u bijvoorbeeld tanh(2.5) in de ALG-modus wilt berekenen met de SOFT-
menu’s in plaats van de CHOOSE boxes, gaat u als volgt te werk:
„´@@HYP@ @@TANH@ 2.5`
In de RPN-modus wordt dezelfde waarde berekend met:
2.5`„´)@@HYP@ @@TANH@
Controleer als oefening van de toepassingen van hyperbolische functies de
volgende waarden:
Handelingen met eenheden
De getallen in de rekenmachine kunnen worden ingesteld op eenheden.
Het is dus mogelijk om uitkomsten te berekenen met een consistent
eenhedensysteem en een uitkomst te produceren met de juiste
eenhedencombinatie.
Het menu UNITS
Het menu Units wordt geactiveerd met de toetsencombinatie
‚Û(behorend bij de toets 6). Als systeemvlag 117 is ingesteld op
CHOOSE boxes, wordt het volgende menu weergegeven:
N.B.: als u meer opties in deze softmenu’s wilt bekijken
drukt u op de toets L of gebruikt u de toetsencombinatie „«.
SINH (2.5) = 6.05020.. ASINH(2.0) = 1.4436…
COSH (2.5) = 6.13228.. ACOSH (2.0) = 1.3169…
TANH(2.5) = 0.98661.. ATANH(0.2) = 0.2027…
EXPM(2.0) = 6.38905…. LNP1(1.0) = 0.69314….
Blz. 3-8
Optie 1. Tools.. bevat functies die op eenheden werken (dit wordt later
besproken). Opties 2. Length.. tot en met 17.Viscosity.. bevatten menu’s
met een aantal eenheden voor de beschreven hoeveelheden. Als u
bijvoorbeeld optie 8. Force.. selecteert, wordt het volgende
eenhedenmenu weergegeven:
De gebruiker herkent de meeste eenheden (sommige eenheden,
bijvoorbeeld dyne, worden tegenwoordig niet meer vaak gebruikt) uit de
lessen natuurkunde. N = newton, dyn = dyne, gf = gramkracht (als
onderscheid van grammassa of gewoon gram, een massa-eenheid), kip =
kilopond (1000 pond), lbf = pondkracht (als onderscheid van
pondmassa), pdl = poundal.
Om een eenheidobject aan een getal te koppelen, moet het getal worden
gevolgd door een onderliggend streepje. Een kracht van 5 N wordt dus
ingevoerd als 5_N.
Voor uitgebreide handelingen met eenheden bieden SOFT-menu’s een
handigere manier voor het koppelen van eenheden. Wijzig systeemvlag
117 naar SOFT-menu’s (zie hoofdstuk 2) en gebruik de toetsencombinatie
Blz. 3-9
Door op de juiste softmenutoets te drukken, wordt het submenu geopend
met eenheden voor die specifieke selectie. Voor het submenu @)SPEED zijn
bijvoorbeeld de volgende eenheden beschikbaar:
Door op de softmenutoets @)UNITS te drukken, keert u terug naar het menu
UNITS.
We hebben al gezien dat u alle menulabels op het scherm kunt
weergegeven door middel van ‚˜. Voor de @)ENRG-verzameling
eenheden worden de volgende eenheden weergegeven:
Beschikbare eenheden
Raadpleeg hoofdstuk 3 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor een volledige lijst met beschikbare eenheden.
N.B.: gebruik de toets L van de toetsencombinatie „«om
door de menu’s te bladeren.
Blz. 3-10
Eenheden aan getallen koppelen
Om een eenheidobject aan een getal te koppelen, moet het getal worden
gevolgd door een onderliggend streepje (‚Ý, toets (8,5)). Een kracht
van 5 N wordt dus ingevoerd als 5_N.
Hier de procedure om dit getal in te voeren in de ALG-modus, waarbij
systeemvlag 117 is ingesteld op CHOOSE boxes:
5‚Ý‚Û8@@OK@@ @@OK@@ `
Als u dezelfde hoeveelheid wilt invoeren met de rekenmachine in de RPN-
modus, gebruikt u de volgende toetsencombinatie:
5‚Û8@@OK@@ @@OK@@
Het onderliggende streepje wordt automatisch ingevoegd als de RPN-
modus actief is.
We laten u nu de toetsencombinatie zien voor het invoeren van eenheden
terwijl de optie SOFT-menu is geselecteerd. Deze combinatie geldt zowel
voor de ALG- als de RPN-modus. Gebruik bijvoorbeeld in de ALG-modus
voor het invoeren van de hoeveelheid 5_N:
5‚Ý‚ÛL @)@FORCE @@@N@@ `
Voor dezelfde hoeveelheid in de RPN-modus wordt de volgende
toetsencombinatie gebruikt:
5‚ÛL @)@FORCE @ @@N@@
N.B.: als u het onderliggende streepje vergeet bestaat het resultaat
uit de uitdrukking 5*N waarbij N staat voor een mogelijke
variabelennaam en niet Newton.
N.B.: u kunt een hoeveelheid met eenheden invoeren door het
onderliggende streepje en de eenheden in te voeren met het
~toetsenbord, 5‚Ý~n zal bijvoorbeeld het volgende
opleveren: 5_N
Blz. 3-11
Eenheidprefixen
U kunt prefixen invoeren voor eenheden aan de hand van de volgende
tabel met prefixen uit het SI-systeem. De afkorting van het prefix wordt eerst
gegeven, gevolgd door de naam en de exponent x in de factor 10
x
overeenkomstig elke prefix.
(*) In het SI-systeem is dit prefix da en geen D. Gebruik D echter voor
deka in de rekenmachine.
Om deze prefixen in te voeren, typt u het prefix met het ~-toetsenbord
in. Gebruik bijvoorbeeld voor 123 pm (picometer):
123‚Ý~„p~„m
Als u UBASE (voer de naam in) gebruikt om te converteren naar de
standaardeenheid (1 m), krijgt u:
Handelingen met eenheden
Hier volgen enkele voorbeelden van berekeningen met de ALG-modus. Let
er wel op dat u bij vermenigvuldigingen en delingen met eenheden elke
hoeveelheid met de eenheden tussen haakjes moet zetten. Het product
Prefix Name x Prefix Name x
Yyotta+24 ddeci-1
Zzetta+21 ccenti-2
E exa +18 m milli -3
Ppeta+15
µ micro -6
Ttera+12 nnano-9
Ggiga+9 p pico -12
Mmega+6 f femto-15
k,K kilo +3 a atto -18
h,H hecto +2 z zepto -21
D(*) deka +1 y yocto -24
Blz. 3-12
12.5m × 5.2 yd, moet als volgt worden ingevoerd: (12.5_m)*(5.2_yd)
`
dit wordt weergegeven als 65_(m
⋅yd). Als u eenheden wilt omzetten naar
het SI-systeem, moet u de functie UBASE gebruiken (u vindt deze functie
met de commandocatalogus, ‚N):
Als u een deling wilt berekenen, bijvoorbeeld 3250 mi / 50 h, voert u dit
als volgt in
(3250_mi)/(50_h) `
Omgezet in SI-eenheden, met de functie UBASE, geeft dit:
Optellen en aftrekken kan in de ALG-modus worden uitgevoerd zonder
haakjes te gebruiken. 5 m + 3200 mm kan bijvoorbeeld worden
ingevoerd als:
5_m + 3200_mm `.
Bij ingewikkeldere uitdrukkingen moet u wel haakjes gebruiken,
bijvoorbeeld:
N.B.: Let op: de variabele ANS(1) is beschikbaar via de
toetsencombinatie „î (behorend bij de toets `).
Blz. 3-13
(12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `:
Bij stapelberekeningen in de RPN-modus hoeft u de verschillende termen
niet tussen haakjes te zetten. Bijvoorbeeld:
12 @@@m@@@ ` 1.5 @@yd@@ ` *
3250 @@mi@@ ` 50 @@@h@@@ ` /
Deze handelingen geven de volgende uitkomst:
Eenheidconversies
Het menu UNITS bevat een submenu TOOLS met de volgende functies:
Voorbeelden van de functie CONVERT worden hieronder weergegeven.
Voorbeelden van de andere functies UNIT/TOOLS staan in hoofdstuk 3
van de gebruikshandleiding van de rekenmachine.
Om bijvoorbeeld 33 watt om te zetten in calorie kunt u een van de
volgende invoeren gebruiken:
CONVERT(33_W,1_hp) `
CONVERT(33_W,11_hp) `
Fysische constanten in de rekenmachine
De fysische constanten van de rekenmachine staan in een constants
library, die met het commando CONLIB kan worden geactiveerd. Om dit
commando te activeren, voert u het volgende in het stapelgeheugen:
~~conlib` of u kunt het commando CONLIB als volgt uit
de commandocatalogus selecteren: Open eerst de catalogus met:
CONVERT(x,y) zet eenheidobject x om in eenheden van object y
UBASE(x) zet eenheidobject x om in SI-eenheden
UVAL(x) trekt de waarde van eenheidobject x af
UFACT(x,y) factoriseert eenheid y van eenheidobject x
UNIT(x,y) combineert de waarde van x met de eenheden van y
Blz. 3-14
‚N~c. Gebruik daarna de pijltjes omhoog en omlaag —˜
om CONLIB te selecteren. Druk tenslotte op @@OK@@. Druk indien nodig op
`. Gebruik de pijltjes omhoog en omlaag (—˜) om door de lijst
constanten in uw rekenmachine te bladeren.
De softmenutoetsen die bij het scherm CONSTANTS LIBRARY behoren,
bestaan onder meer uit de volgende functies:
(*) Wordt alleen geactiveerd als de optie VALUE is geselecteerd.
Zo ziet het bovenste deel van het scherm van de CONSTANTS LIBRARY
eruit als de optie VALUE is geselecteerd (eenheden in het SI-systeem):
, Druk op de optie @ENGL als u de waarden van de constanten in het Engelse
(Imperiaal) systeem wilt bekijken:
SI als deze functie is geselecteerd, worden de waarden van
de constanten in SI-eenheden weergegeven (*)
ENGL als deze functie is geselecteerd, worden de waarden van
de constanten in Engelse eenheden weergegeven (*)
UNIT als deze functie is geselecteerd, worden de constanten
met gekoppelde eenheden weergegeven (*)
VALUE als deze functie is geselecteerd, worden de constanten
zonder eenheden weergegeven
STK kopieert de waarde (met of zonder eenheden) naar de
stapel
QUIT sluit de constantenbibliotheek af
Blz. 3-15
Als we de optie UNITS deselecteren (druk op @UNITS), worden alleen de
waarden weergegeven (in dit geval zijn de Engelse eenheden
geselecteerd):
Als u de waarde van Vm naar het stapelgeheugen wilt kopiëren, selecteert
u de naam van de variabele en drukt u op ·STK en daarna op @QUIT@. Als
de rekenmachine is ingesteld op ALG, ziet het scherm er als volgt uit:
Het beeldscherm geeft de zogenaamde gelabelde waarde weer,
Vm:359.0394. Hier is Vm de tag van deze uitkomst. Elke rekenkundige
handeling met dit getal zal de tag negeren. Probeer bijvoorbeeld:
‚¹2*„î`
dat geeft het volgende:
Voor dezelfde handeling in de RPN-modus is de volgende
toetsencombinatie vereist (nadat de waarde van Vm uit de
constantenbibliotheek is opgehaald):
2`*‚¹
Blz. 3-16
Functies definiëren en gebruiken
Gebruikers kunnen hun eigen functies definiëren door het commando
DEFINE te gebruiken dat via de toetsencombinatie „à wordt
opgeroepen (behorende bij de toets 2). De functie moet op de
volgende manier worden ingevoerd.
Functie_naam(argumenten) = uitdrukking_met_argumenten
We kunnen bijvoorbeeld een eenvoudige functie definiëren
H(x) = ln(x+1) + exp(-x)
Stel dat u deze functie moet evalueren voor een aantal discrete waarden
en u wilt daarom het resultaat met een enkele toets kunnen oproepen,
zonder dat u de uitdrukking aan de rechterzijde voor elke afzonderlijke
waarde hoeft in te voeren. In het volgende voorbeeld gaan we er vanuit
dat uw rekenmachine in de ALG-modus staat. Voer de volgende
toetsencombinatie in:
„à³~h„Ü~„x™‚Å
‚¹~„x+1™+„¸~„x`
Het scherm ziet er nu als volgt uit:
Door op de toets J te drukken, ziet u dat er een nieuwe variabele in uw
softmenutoets (@@@H@@) staat. Druk op ‚@@@H@@ als u de inhoud van deze
variabele wilt bekijken. Het scherm ziet er nu als volgt uit:
De variabele H bevat een programma dat wordt gedefinieerd door:
<< x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >>
Dit is een eenvoudig programma in de standaardprogrammeertaal van de
rekenmachine. Deze programmeertaal heet UserRPL (zie hoofdstuk 20 en
21 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine). Het bovenstaande
Ch03_Berekeningen met reele getallen.fm Page 16 Sunday, March 26, 2006 12:16 PM
Blz. 3-17
programma is vrij eenvoudig en bestaat uit twee delen tussen de
programmacontainers
Dit kan worden geïnterpreteerd als: voer een waarde in die tijdelijk de
aanduiding x krijgt (een zogenaamde lokale variabele), evalueer de
uitdrukking tussen aanhalingstekens die die locale variabele bevat en toon
de geëvalueerde uitdrukking.
U activeert de functie in de ALG-modus door de naam van de functie in te
voeren, gevolgd door het argument tussen haakjes, bijvoorbeeld @@@H@@@
„Ü2`. Hieronder worden enkele voorbeelden weergegeven:
In de RPN-modus moet u het argument eerst invoeren om de functie te
activeren en daarna op de softmenutoets drukken die bij de
variabelennaam hoort @@@H@@@ . Probeer bijvoorbeeld het volgende: 2@@@H@@@ .
De andere bovenstaande voorbeelden kunnen als volgt worden ingevoerd:
1.2@@@H@@@ , 2`3/@@@H@@@ .
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 3 in de gebruikshandleiding voor meer informatie
over reële getallen met de rekenmachine.
•Invoer: x x
•Proces:
‘LN(x+1) + EXP(x) ‘
Ch03_Berekeningen met reele getallen.fm Page 17 Sunday, March 26, 2006 12:16 PM
Blz. 4-1
Hoofdstuk 4
Berekeningen met complexe getallen
In dit hoofdstuk laten wij voorbeelden zien van berekeningen en
toepassingen van functies voor complexe getallen.
Definities
Een complex getal z is een getal z = x + iy, waarbij x en y reële getallen
zijn en i de imaginaire eenheid is die wordt gedefinieerd door i
2
= –1.
Het getal x + iy heeft een reëel deel, x = Re(z) en een imaginair deel, y =
Im(z). Het complexe getal z = x + iy wordt dikwijls gebruikt om een punt
P(x,y) voor te stellen in het x–y vlak, waarbij de x-as de reële as wordt
genoemd en de y-as de imaginaire as.
Van een complex getal in de vorm x + iy wordt gezegd dat het in de
cartesische voorstelkling wordt weergegeven. Een alternatieve voorstelling
is het geordende paar (x, y). Een complex getal kan eveneens in polaire
coördinaten worden weergegeven (polaire voorstelling) als z = re
i
θ
= r cosθ
+ i rsinθ, waarbij r = |z| = de modulus van het complexe
getal z is, en
θ = Arg(z) = arctan(y/x) het argument van het complexe
getal z is.
De relatie tussen de cartesiaanse en polaire voorstelling van complexe
getallen wordt uitgedrukt door de Euler-formule ei
i
θ
= cosθ + i sinθ. De
complexe geconjugeerde grootheid van een complex getal z = x + iy =
re
i
θ
, kan beschouwd worden als de spiegeling van z rond de reële (x-)as.
Op gelijkaardige wijze kan de negatieve waarde van z, –z = -x-iy = -re
i
θ
q,
worden gezien als een spiegeling van z rond de oorsprong.
De rekenmachine in de modus COMPLEX
instellen
Om met complexe getallen te werken, moet u de modus CAS complex
selecteren.
H)@@CAS@˜˜™
De modus COMPLEX wordt geselecteerd als in het scherm CAS MODES
de optie _Complex aangevinkt is, dus
22
yx +
Blz. 4-2
Druk twee keer op @@OK@@ om terug te keren naar de stapel.
Complexe getallen invoeren
Complexe getallen kunnen in de rekenmachine op een van de twee
Cartesische weergaven worden ingevoerd, namelijk x+iy of (x,y). De
resultaten in de rekenmachine worden weergegeven in de opmaak
geordend paar, dus (x,y). Als de rekenmachine bijvoorbeeld in de ALG-
modus staat, wordt het complexe getal (3.5,-1.2) ingevoerd als:
„Ü3.5‚í\1.2`
Een complex getal kan ook worden ingevoerd in de vorm x+iy. In de ALG-
modus wordt 3.5-1.2i ingevoerd als (accepteer moduswijzigingen):
3.5 -1.2*„¥`
In de RPN-modus kunt u deze getallen invoeren met de volgende
toetsencombinatie:
„Ü3.5‚í1.2\`
(U ziet dat de toets verander-teken wordt ingevoerd na het cijfer 1.2. Dit is
dus anders dan bij de oefening in de ALG-modus) en
Polaire weergave van een complex getal
De polaire weergave van het complexe getal 3.5-1.2i, dat hierboven werd
ingevoerd, krijgt u door het coördinatenstelsel te wijzigen naar cilindrisch
of polair (met de functie CYLIN). U vindt deze functie in de catalogus
(‚N). U kunt de coördinaat ook naar polair veranderen met H.
Het veranderen in polaire coördinaat met standaardaantekening en de
hoekige maatregel in radianten, veroorzaakt het resultaat op wijze RPN:
Opmerking: om de imaginaire eenheid in te voeren toetst u in:
„¥ de I toets).
Ch04_Berekeningen met complexe getallen.fm Page 2 Sunday, March 26, 2006 12:43 PM
Blz. 4-3
Het bovenstaande resultaat geeft een grootte, 3.7, en een hoek,
0.33029… aan. Het hoeksymbool (
∠) wordt voor de hoekmeting
gegeven.
U keert terug naar Cartesische of rechthoekige coördinaten met de functie
RECT (deze staan in de catalogus, ‚N). Een complex getal in de
polaire weergave wordt geschreven als z = r
⋅e
iθ
. U kunt dit complexe getal
in de rekenmachine invoeren door een geordend paar in de vorm (r,
∠θ)
te gebruiken. Het hoeksymbool (
∠) kan worden ingevoerd als
~‚6. Het complexe getal z = 5.2e
1.5i
, kan als volgt worden
ingevoerd (de afbeeldingen geven het RPN-stapelgeheugen weer, voordat
en nadat het getal is ingevoerd):
Omdat het coördinatenstelsel is ingesteld op rechthoekig (of Cartesisch),
zet de rekenmachine het getal automatisch om in Cartesische coördinaten,
dus x = r cos
θ, y = r sin θ, wat in dit geval resulteert in (0.3678…,
5.18…).
Als echter het coördinatenstelsel is ingesteld op cilindrische coördinaten
(met CYLIN), dan zal het invoeren van een complex getal (x,y), waarbij x
en y reële getallen zijn, een polaire weergave opleveren. Voer
bijvoorbeeld in de cilindrische coördinaten het getal (3.,2.) in. In de
onderstaande afbeelding ziet u het RPN-stapelgeheugen, voordat en
nadat dit getal is ingevoerd.
Eenvoudige handelingen met complexe
Blz. 4-4
getallen
Complexe getallen kunnen worden gecombineerd met vier fundamentele
handelingen (+-*/). De resultaten volgen de algebraregels
onder voorbehoud dat i2= -1. Handelingen met complexe getallen lijken
op handelingen met reële getallen. Met de rekenmachine bijvoorbeeld in
de ALG-modus en het CAS ingesteld op Complex, kunt u de volgende
oefening uitvoeren:
(3+5i) + (6-3i) = (9,2);
(5-2i) - (3+4i) = (2,-6)
(3-i)·(2-4i) = (2,-14);
(5-2i)/(3+4i) = (0.28,-1.04)
1/(3+4i) = (0.12, -0.16) ;
-(5-3i) = -5 + 3i
De menu’s CMPLX
De rekenmachine bevat twee CMPLX-menu’s (CoMPLeXe getallen). Een is
toegankelijk via het menu MTH (zie hoofdstuk 3) en de ander is direct
toegankelijk via het toetsenbord (‚ß). Hierna worden de twee
CMPLX-menu’s toegelicht.
Menu CMPLX via het menu MTH
We gaan er vanuit dat systeemvlag 117 is ingesteld op CHOOSE-boxes
(zie hoofdstuk 2). Het submenu CMPLX in het menu MTH wordt
geactiveerd met „´9@@OK@@. Dit zijn de beschikbare functies:
Het eerste menu (opties 1 tot en met 6) heeft de volgende functies:
RE(z) Reëel deel van een complex getal
M(z) Denkbeeldig deel van een complex getal
C→R(z) Scheid een complex getal in het reële en het
denkbeeldige deel
Blz. 4-5
Hieronder volgen voorbeelden van toepassingen van deze functies in
RECT-coördinaten. Vergeet niet dat in de ALG-modus de functie voor het
argument moet staan, terwijl in de RPN-modus het argument eerst moet
worden ingevoerd en daarna de functie moet worden geselecteerd. Deze
functies kunt u ook als softmenulabels krijgen door de instelling van
systeemvlag 117 te wijzigen (zie hoofdstuk 2).
Menu CMPLX via het toetsenbord
Er kan een tweede CMPLX-menu geactiveerd worden via de optie rechts-
shift samen met de toets 1, dus ‚ß. Als systeemvlag 117 is
ingesteld op CHOOSE-boxes , verschijnt het toetsenbordmenu CMPLX als
volgt op het scherm:
R→C(x,y) Vormt het complexe getal (x,y) uit de reële getallen x en y
ABS(z) Berekent de grootte van een complex getal.
ARG(z) Berekent het argument van een complex getal.
SIGN(z)
Berekent een complex getal met eenheidgrootte als z/
|z|.
NEG(z) Wijzigt het merkteken van z
CONJ(z)
Produceert de complexe geconjugeerde grootheid van z
Blz. 4-6
Het menu bevat enkele functies die we al ial eerder zijn behandeld,
namelijk ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE en SIGN. Er is ook nog een
functie i die dezelfde functie heeft als de toetsencombinatie „¥.
Functies toegepast op complexe getallen
Veel functies via het toetsenbord en functies via het menu MTH die in
hoofdstuk 3 voor reële getallen zijn behandeld (bijvoorbeeld SQ, LN, e
x
,
enz.), kunnen worden toegepast op complexe getallen. Het resultaat is een
ander complex getal, zoals in de volgende voorbeelden wordt
weergegeven.
Blz. 4-7
Functie DROITE: vergelijking van een rechte
lijn
De functie DROITE heeft als argument twee complexe getallen,
bijvoorbeeld x
1
+iy
1
en x
2
+iy
2
, en geeft de vergelijking van een rechte lijn,
bijvoorbeeld y = a+bx, die de punten (x
1
,y
1
) en (x
2
,y
2
) bevat. De lijn
tussen de punten A(5,-3) en B(6,2) kan bijvoorbeeld als volgt worden
gevonden (voorbeeld in de Algebraïsche modus):
U vindt de functie DROITE in de commandocatalogus (‚N). Met de
rekenmachine in APPROX-modus is het resultaat Y = 5.*(X-5.)-3.
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 4 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over handelingen met complexe getallen.
N.B.: Als u trigonometrische functies en hun tegenwaarden met
complexe getallen gebruikt
zijn de argumenten geen hoeken meer. De hoekmeting die voor de
rekenmachine is geselecteerd
heeft dus geen invloed meer op de berekeningen van deze functies
met complexe argumenten.
Blz. 5-1
Hoofdstuk 5
Algebraïsche en rekenkundige handelingen
Een algebraïsch object is elk getal, variabelennaam of algebraïsche
uitdrukking die behandeld, bewerkt en gecombineerd kan worden volgens
de regels van de algebra. Hier volgen voorbeelden van algebraïsche
objecten:
Algebraïsche objecten invoeren
Algebraïsche objecten kunnen worden gemaakt door het object tussen
enkele aanhalingstekens direct in stapelniveau 1 te zetten of door de
vergelijkingenschrijver [EQW] te gebruiken. Met de volgende
toetsencombinaties wordt het algebraïsche object ‘
π*D^2/4’ rechtstreeks
in stapelniveau 1 ingevoerd:
³„ì*~dQ2/4`
Een algebraïsch object kan ook in de vergelijkingenschrijver worden
gemaakt en daarna naar het stapelgeheugen worden gestuurd of in de
vergelijkingenschrijver zelf worden berwerkt. WHet gebruik van de
vergelijkingenschrijver is in hoofdstuk 2 besproken. Bouw bij wijze van
oefening het volgende algebraïsche object op in de
vergelijkingenschrijver:
Druk nadat het object is aangemaakt op ` zodat het in het
stapelgeheugen wordt weergegeven (zowel de ALG- als RPN-modus
worden weergegeven):
•Een getal: 12.3, 15.2_m, ‘
π’, ‘e’, ‘i’
•Een variabelennamen: ‘a’, ‘ux’, ‘breedte’, enz.
•Een uitdrukking: ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’,
•Een vergelijking: ‘p*V = n*R*T’, ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/
3)*
√So’
Blz. 5-2
Eenvoudige handelingen met algebraïsche
objecten
Algebraïsche objecten kunnen worden opgeteld, afgetrokken,
vermenigvuldigd, gedeeld (behalve door nul), tot een macht worden
verheven, als argumenten voor een aantal standaardfuncties worden
gebruikt (exponentieel, logaritme, trigonometrie, hyperbolisch, enz.), net
als bij elk reël of complex getal. Om de basishandelingen met
algebraïsche objecten te laten zien, maken we een aantal objecten,
bijvoorbeeld ‘
π*R^2’ en ‘g*t^2/4’, en slaan we zo op in variabelen A1
en A2 (zie hoofdstuk 2 over het aanmaken van variabelen en het opslaan
van waarden in variabelen). Dit zijn de toetsencombinaties voor het
opslaan van variabelen A1 in de ALG-modus:
³„ì*~rQ2™K~a1`
Het resultaat:
De toetsencombinaties voor de RPN-modus zijn:
„ì~r`2Q*~a1K
Als u de variabele A2 heeft opgeslagen en op de toets heeft gedrukt, geeft
het scherm de variabelen als volgt weer:
In de ALG-modus laat de volgende toetsencombinatie een aantal
handelingen zien met de algebraïsche functies behorende bij variabelen
@@A1@@en@@A2@@ (druk op J voor het variabelenmenu):
Blz. 5-3
@@A1@@ + @@A2@@ ` @@A1@@ - @@A2@@ `
@@A1@@ * @@A2@@ ` @@A1@@ / @@A2@@ `
‚¹@@A1@@ „¸@@A2@@
U krijgt dezelfde resultaten in de RPN-modus als u de volgende
toetsencombinaties gebruikt:
Functies in het menu ALG
Het menu ALG (Algebraïsch) wordt geactiveerd met de toetsencombinatie
‚×(behorend bij de toets 4). Met systeemvlag 117 ingesteld op
de CHOOSE-boxes biedt het menu ALG de volgende functies:
@@A1@@ @@A2@@ +µ @@A1@@ @@A2@@ -µ
@@A1@@ @@A2@@ *µ @@A1@@ @@A2@@ /µ
@@A1@@ ‚ ¹µ @@A2@@ „ ¸µ
Ch05_Algebraische en rekenkundige handelingen.fm Page 3 Sunday, March 26, 2006 12:50 PM
Blz. 5-4
We zullen niet alle beschrijvingen van de functies in deze handleiding
geven. De gebruiker kan deze vinden in de helptekst van de
rekenmachine. IL @)HELP@ ` . Voer de eerste letter van de functie in
als u een bepaalde functie zoekt. Voor de functie COLLECT moet
bijvoorbeeld ~c ingevoerd worden. Daarna gebruiken we de pijltjes
omhoog en omlaag, —˜, om COLLECT in het helpvenster te zoeken.
Druk op @@OK@@ om de handeling te voltooien. Dit is het helpscherm voor de
functie COLLECT:
U ziet onder in het scherm de regel See EXPAND FACTOR staan, hier
worden de koppelingen naar andere helpteksten en de functies EXPAND
en FACTOR weergegeven. Als u meteen naar deze items wilt, drukt u op
softmenutoets @SEE1! voor EXPAND en @SEE2! voor FACTOR. Als u
bijvoorbeeld op @SEE1! drukt, krijgt u de volgende informatie voor EXPAND,
terwijl @SEE2! informatie voor FACTOR geeft:
Kopieer de voorbeelden naar uw stapelgeheugen door op @ECHO! te
drukken. Voor EXPAND hierboven drukt u op softmenutoets @ECHO! om het
volgende voorbeeld naar het stapelgeheugen te kopiëren (druk op `
om het commando uit te voeren):
Verder laten we de gebruiker zelf de toepassingen van de functies in het
menu ALG verkennen. Dit is een lijst met de commando’s:
Blz. 5-5
Voor de functie SUBST vinden we de volgende CAS-helptekst:
Handelingen met transcendente functies
De rekenmachine biedt een aantal functies die kunnen worden gebruikt om
uitdrukkingen met logaritmische & exponentiële functies („Ð) en
trigonometrische functies (‚Ñ) te vervangen.
Uitbreiding en factorisering met log-exp-functies
De toets „ Ð geeft het volgende menu weer:
N.B.: als u deze of andere functies in de RPN-modus gebruikt, moet u
het argument eerst invoeren en daarna de functie. Het voorbeeld
voor TEXPAND wordt in de RPN-modus als volgt ingevoerd:
³„¸+~x+~y`
Selecteer nu functie TEXPAND uit menu ALG (of direct uit de catalogus
‚N) om de handeling te voltooien.
Blz. 5-6
Informatie over en voorbeelden van deze commando’s staan in de
helptekst van de rekenmachine. De beschrijving van EXPLN wordt
bijvoorbeeld aan de linkerzijde weergegeven en het voorbeeld van de
helptekst aan de rechterzijde:
Uitbreiding en factorisering met trigonometrische
functies
Het menu TRIG, dat wordt opgeroepen met ‚Ñ, geeft de volgende
functies weer:
Met deze functies kunt u uitdrukkingen vereenvoudigen door de ene
categorie trigonometrische functies te vervangen door een andere. Met de
functie ACOS2S kunt u bijvoorbeeld de functie boogcosinus (acos(x))
vervangen door de uitdrukking van boogsinus (asin(x)).
De beschrijving van deze commando’s en voorbeelden van hun
toepassingen staan in de helptekst van de rekenmachine (IL@HELP).
De gebruiker kan deze helpteksten gebruiken voor informatie over de
commando’s in het menu TRIG.
Blz. 5-7
Functies in het menu ARITHMETIC
Het menu ARITHMETIC wordt geactiveerd met de toetsencombinatie
„Þ (behorend bij de toets 1). Met systeemvlag 117 ingesteld op
CHOOSE-boxes, wordt met „Þ het volgende menu weergegeven:
In deze menulijst komen opties 5 tot en met 9 (DIVIS, FACTORS, LGCD,
PROPFRAC, SIMP2) overeen met veelgebruikte functies die van toepassing
zijn op hele getallen of op polynomen. De andere opties (1. INTEGER, 2.
POLYNOMIAL, 3. MODULO en 4. PERMUTATION) zijn eigenlijk
submenu's van functies die van toepassing zijn op specifieke wiskundige
objecten. Met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT-menu’s, wordt het menu
ARITHMETIC („Þ) als volgt weergegeven:
In het volgende voorbeeld wordt de helptekst voor de functies FACTORS en
SIMP2 in het menu ARITHMETIC weergegeven (IL@HELP).
De functies van de submenu’s ARITHMETIC: INTEGER, POLYNOMIAL,
MODULO en PERMUTATION, worden behandeld in Hoofdstuk 5 van de
gebruikshandleiding van de rekenmachineDe volgende secties laten enige
toepassingen op polynomen en breuken zien.
FACTOREN: SIMP2:
Ch05_Algebraische en rekenkundige handelingen.fm Page 7 Friday, November 25, 2005 2:57 PM
Blz. 5-8
Polynomen
Polynomen zijn algebraïsche uitdrukkingen die uit een of meer termen
bestaan met afnemende machten van een bepaalde variabele.
‘X^3+2*X^2-3*X+2’ is bijvoorbeeld een polynoom van de derde orde in
X, terwijl ‘SIN(X)^2-2’ een polynoom van de tweede orde SIN(X) is. De
functies COLLECT en EXPAND kunnen worden toegepast voor polynomen,
zoals we eerder lieten zien. Andere toepassingen van de polynome
functies worden hieronder weergegeven:
De functie HORNER
De functie HORNER („Þ, POLYNOMIAL, HORNER) geeft de Horner-
deling, of de synthetische deling, van een polynoom P(X) met de factor (X-
a), dus HORNER(P(X),a) = {Q(X), a, P(a)}, waarbij P(X) = Q(X)(X-a)+P(a).
Bijvoorbeeld:
HORNER(‘X^3+2*X^2-3*X+1’,2) = {X^2+4*X+5 2 11}
dus, X
3
+2X
2
-3X+1 = (X
2
+4X+5)(X-2)+11. Ook,
HORNER(‘X^6-1’,-5)=
{ X^5-5*X^4+25*X^3-125*X^2+625*X-3125 -5 15624}
dus, X
6
-1 = (X
5
-5*X
4
+25X
3
-125X
2
+625X-3125)(X+5)+15624.
De variabele VX
De meeste polynome voorbeelden hierboven zijn geschreven met variabele
X. De reden hiervoor is dat een variabele VX bestaat in de directory
{HOME CASDIR}van de rekenmachine die die standaard de waarde van
‘X’ aanneemt. Dit is de naam van de gewenste onafhankelijke variabele
voor algebraïsche en calculustoepassingen Gebruik de variabele VX liever
niet in uw programma’s of vergelijkingen, om niet in de war te raken met
de CAS’ VX. Raadpleeg bijlage C in de gebruikshandleiding van de
rekenmachine voor meer informatie over de CAS-variabele.
De functie PCOEF
Bij een reeks met de wortels van een polynoom zal de functie PCOEF een
reeks genereren met de coëfficiënten van de bijbehorende polynomen. De
coëfficiënten komen overeen met de aflopende volgorde van de
onafhankelijke variabele. Bijvoorbeeld:
PCOEF([-2, –1, 0 ,1, 1, 2]) = [1. –1. –5. 5. 4. –4. 0.],
welke de polynoom X
6
-X
5
-5X
4
+5X
3
+4X
2
-4X weergeeft.
Blz. 5-9
De functie PROOT
Bij een reeks met de coëfficiënten van een polynoom, in aflopende
volgorde, zal de functie PROOT de wortels van de polynoom geven.
Voorbeeld van X
2
+5X+6 =0, PROOT([1, –5, 6]) = [2. 3.].
De functies QUOT en REMAINDER
De functies QUOT en REMAINDER geven respectievelijk het quotiënt Q(X)
en de rest R(X), het resultaat van de deling van twee polynomen, P
1
(X) en
P
2
(X). Ze leveren met andere woorden de waarden Q(X) en R(X) van
P
1
(X)/P
2
(X) = Q(X) + R(X)/P
2
(X). Bijvoorbeeld:
QUOT(‘X^3-2*X+2’, ‘X-1’) = ‘X^2+X-1’
REMAINDER(‘X^3-2*X+2’, ‘X-1’) = 1.
Dat kunnen we als volgt schrijven: (X
3
-2X+2)/(X-1) = X
2
+X-1 + 1/(X-1).
De functie PEVAL
De functie PEVAL (Polynome EVALuatie) kan worden gebruikt om een
polynoom te evalueren
p(x) = a
n
⋅
x
n
+a
n-1
⋅
x
n-1
+ …+ a
2
⋅
x
2
+a
1
⋅
x+ a
0
,
met een reeks coëfficiënten [a
n
, a
n-1
, … a
2
, a
1
, a
0
] en een waarde van x
0
.
Het resultaat is de evaluatie p(x
0
). De functie PEVAL is niet beschikbaar in
het menu ARITHMETIC, gebruik in plaats daarvan het CALC/
DERIV&INTEG-Menu. Voorbeeld: PEVAL([1,5,6,1],5) = 281.
Raadpleeg hoofdstuk 5 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor aanvullende toepassingen van polynome functies.
Breuken
Breuken kunnen worden uitgebreid en gefactoriseerd met de functies
EXPAND en FACTOR uit het menu ALG (‚×). Bijvoorbeeld:
EXPAND(‘(1+X)^3/((X-1)*(X+3))’) =‘(X^3+3*X^2+3*X+1)/(X^2+2*X-3)’
EXPAND(‘(X^2)*(X+Y)/(2*X-X^2)^2’) = ‘(X+Y)/(X^2-4*X+4)’
FACTOR(‘(3*X^3-2*X^2)/(X^2-5*X+6)’) = ‘X^2*(3*X-2)/((X-2)*(X-3))’
FACTOR(‘(X^3-9*X)/(X^2-5*X+6)’ ) = ‘X*(X+3)/(X-2)’
N.B.: u kunt het laatste resultaat krijgen met PARTFRAC:
PARTFRAC(‘(X^3-2*X+2)/(X-1)’) = ‘X^2+X-1 + 1/(X-1)’.
Ch05_Algebraische en rekenkundige handelingen.fm Page 9 Sunday, March 26, 2006 12:50 PM
Blz. 5-10
De functie SIMP2
De functie SIMP2 In het menu ARITHMETIC neemt als argumenten twee
getallen of polynomen die de teller en de noemer van een rationele breuk
weergeven en geeft een vereenvoudigde teller en noemer. Bijvoorbeeld:
SIMP2(‘X^3-1’,’X^2-4*X+3’) = { ‘X^2+X+1’,‘X-3’}
De functie PROPFRAC
De functie PROPFRAC zet een rationele breuk om in een “echte” breuk,
d.w.z. er wordt een integer deel toegevoegd aan een breukdeel als deze
decompositie mogelijk is. Bijvoorbeeld:
PROPFRAC(‘5/4’) = ‘1+1/4’
PROPFRAC(‘(x^2+1)/x^2’) = ‘1+1/x^2’
De functie PARTFRAC
De functie PARTFRAC splitst een rationele breuk op in gedeeltelijke breuken
die de originele breuk vormen. Bijvoorbeeld:
PARTFRAC(‘(2*X^6-14*X^5+29*X^4-37*X^3+41*X^2-16*X+5)/(X^5-
7*X^4+11*X^3-7*X^2+10*X)’) = ‘2*X+(1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+X/
(X^2+1))’
De functie FCOEF
De functie FCOEF, beschikbaar via het ARITHMETIC/POLYNOMIAL-menu
wordt gebruikt om een rationele breuk te krijgen met de wortels en polen
van de breuk.
De invoer voor de functie is een vector met de wortels gevolgd door hun
veelvoud (d.w.z. hoe vaak een bepaalde wortel wordt herhaald), en de
polen gevolgd door hun veelvoud die als een negatief getal wordt
weergegeven. Als we bijvoorbeeld een breuk willen maken die wortels
heeft van 2 met veelvoud 1, 0 met veelvoud 3 en -5 met veelvoud 2, en
polen 1 met veelvoud 2 en –3 met veelvoud 5, gebruiken we:
FCOEF([2,1,0,3,–5,2,1,–2,–3,–5])=‘(X--5)^2*X^3*(X-2)/(X-+3)^5*(X-1)^2’
Als u drukt op µ„î` (of simpelweg µ, in RPN modus),
krijgt u:
N.B.: als een rationele breuk wordt gegeven als F(X) = N(X)/D(X)
zijn de wortels van de breuk het resultaat van de oplossing van de
vergelijking N(X) = 0, terwijl de polen het resultaat zijn van de
vergelijking D(X) = 0.
Blz. 5-11
‘(X^6+8*X^5+5*X^4-50*X^3)/(X^7+13*X^6+61*X^5+105*X^4-
45*X^3-297*X62-81*X+243)’
De functie FROOTS
De functie FROOTS, in het ARITHMETIC/POLYNOMIAL-menu, bevat de
wortels en polen van een breuk. Als we bijvoorbeeld de functie FROOTS
zouden toepassen op het bovenstaande resultaat, zouden we het volgende
krijgen: [1 –2. –3 –5. 0 3. 2 1. –5 2.]. Het resultaat laat de polen
gevolgd door hun veelvoud zien als een negatief getal, en de wortels
gevolgd door hun veelvoud als een positief getal. In dit geval zijn de polen
(1, -3) met de respectievelijke veelvouden (2,5) en de wortels zijn (0, 2, -5)
met de respectievelijke veelvouden (3, 1, 2).
Een ander voorbeeld: FROOTS(‘(X^2-5*X+6)/(X^5-X^2)’) = [0 –2. 1 –1.
3 1. 2 1.], dus polen = 0 (2), 1(1), en wortels = 3(1), 2(1). Als de modus
Complex was geselecteerd, zouden de resultaten als volgt zijn:
[0 –2. 1 –1. – ((1+i*
√3)/2) –1. – ((1–i*√3)/2) –1. 3 1. 2 1.].
Stapsgewijze handelingen met polynomen en
breuken
Als we de CAS-modi instellen op Stap/stap, geeft de rekenmachine
vereenvoudigde breuken of handelingen met polynomen stap voor stap
weer. Dit is bijzonder handig bij het bekijken van de stappen van een
synthetische deling. Het voorbeeld van de volgende deling.
wordt in detail weergegeven in bijlage C in de gebruikshandleiding van
de rekenmachine. Het volgende voorbeeld geeft een langere synthetische
deling weer(DIV2 is beschikbaar in het ARITH/POLYNOMIAL-menu):
2
235
23
−
−+−
X
XXX
1
1
2
9
−
−
X
X
Blz. 5-12
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 5 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie, definities en voorbeelden van algebraïsche en
rekenkundige handelingen.
Blz. 6-1
Hoofdstuk 6
Het oplossen van vergelijkingen
Aan de 7 toets zijn twee functiemenu's verbonden voor het oplossen
van vergelijkingen. De Symbolische SOLVer („Î) en de NUMerieke
SoLVer (‚Ï). Hieronder laten we enkele van de functies in deze
menu’s zien.
Symbolische oplossing van algebraïsche
vergelijkingen
Hier beschrijven we enkele van de functies van het Symbolische Solver-
menu. Activeer het menu met de toetsaanslagcombinatie „Î. Met
systeemvlag 117 ingesteld op de CHOOSE-boxes zijn de volgende
menulijsten beschikbaar:
De functies ISOL en SOLVE kunnen worden gebruikt om elke onbekende
parameter in een polynome vergelijking op te lossen. De functie SOLVEXX
lost een polynome vergelijking op waarin de onbekende parameter de
standaard CAS variabele VX is (meestal ingesteld als ‘X’). De functie
ZEROS tenslotte verschaft de nullen, of wortels, van een polynome
vergelijking.
De functie ISOL
De functie ISOL (vergelijking, variabele) geeft de oplossing(en) voor een
Vergelijking door de variabele te isoleren. Voorbeeld: met de
rekenmachine in de ALG-modus, kunnen we het volgende gebruiken om t
in de vergelijking at
3
-bt = 0 op te lossen:
Blz. 6-2
In de RPN-modus wordt de oplossing bereikt door de vergelijking in het
stapelgeheugen in te voeren gevolgd door de variabele, alvorens de ISOL
functie te activeren. Net voor de uitvoering van ISOL dient het RPN-
stapelgeheugen er net als in de linkerafbeelding uit te zien. Na het
toepassen van de functie ISOL wordt het resultaat zoals in de
rechterafbeelding:
Het eerste argument in ISOL kan een uitdrukking zijn, zoals hierboven, of
een vergelijking. Probeer bijvoorbeeld het volgende in de ALG-modus:
Hetzelfde probleem kan worden opgelost in de RPN-modus zoals in de
onderstaande afbeelding (de afbeeldingen tonen het RPN-stapelgeheugen
voor en na toepassing van de functie ISOL):
N.B.: gebruik ‚Å (verbonden aan de toets \) om het
isgelijkteken (=) in een vergelijking in te voeren.
Blz. 6-3
De functie SOLVE
De functie SOLVE heeft dezelfde samenstelling als de functie ISOL, behalve
dat SOLVE ook kan worden gebruikt om een reeks polynome
vergelijkingen op te lossen. De helptekst voor de functie SOLVE, met de
oplossing op de vergelijking X^4 – 1 = 3 wordt hieronder weergegeven:
De volgende voorbeelden laten het gebruik van de functie SOLVE in de
RPN- en ALG-modi zien (Gebruik de Complexe modus in de CAS):
De schermweergave hierboven geeft twee oplossingen weer. In de eerste,
β
4
-5β =125, geeft SOLVE geen oplossingen { }. In de tweede, β
4
- 5β = 6,
geeft SOLVE vier oplossingen in de laatste uitvoerregel. De allerlaatste
oplossing is niet zichtbaar omdat het resultaat langer is dan de breedte
van het scherm van de rekenmachine. Maar u kunt alle oplossingen
bekijken door de pijltoets naar beneden (˜) te gebruiken. Deze activeert
de regeleditor (deze bewerking kan gebruikt worden om uitvoerregels te
zien die breder zijn dan het scherm van de rekenmachine):
De corresponderende RPN-schermen voor deze twee voorbeelden, voor en
na toepassing van de functie SOLVE, ziet u hieronder:
Blz. 6-4
De functie SOLVEVX
De functie SOLVEVX lost een vergelijking voor de standaard CAS-variabele
op in de voor de variabele gereserveerde naam VX. Standaard is deze
variabele ingesteld op ‘X’. Voorbeelden waarin de ALG-modus met VX=’X’
wordt gebruikt, ziet u hieronder:
In het eerste geval kon SOLVEVX geen oplossing vinden. In het tweede
geval vond SOLVEVX één oplossing, X=2.
De volgende schermen tonen het RPN-stapelgeheugen voor het oplossen
van de hierboven getoonde voorbeelden (voor en na toepassing van
SOLVEVX):
Blz. 6-5
De functie ZEROS
De functie ZEROS vindt de oplossingen van een polynome vergelijking
zonder de veelvoud te tonen. De functie vereist als invoer de uitdrukking
voor de vergelijking en de naam van de variabele die opgelost moet
worden. Voorbeelden in de ALG-modus ziet u hieronder:
Voer eerste de polynome uitdrukking in, dan de op te lossen variabele en
vervolgens de functie ZEROS om deze functie in de RPN-modus te
gebruiken. De volgende schermweergaven geven het RPN-stapelgeheugen
weer voor en na toepassing van ZEROS op de twee voorbeelden
hierboven (Gebruik Complex-modus in de CAS):
De Symbolische Solver-functies hierboven geven oplossingen voor rationele
vergelijkingen (voornamelijk polynome vergelijkingen). Indien de op te
lossen vergelijking alleen numerieke coëfficiënten heeft, is een numerieke
oplossing mogelijk met behulp van de Numerieke Solver van de
rekenmachine.
Menu van de Numerieke solver
De rekenmachine biedt een zeer krachtige omgeving voor het oplossen
van enkele algebraïsche of transcendente vergelijkingen. Voor toegang tot
deze omgeving activeren we de numerieke solver (NUM.SLV) met
‚Ï. Nu verschijnt een drop-downmenu met de volgende opties:
Blz. 6-6
Hieronder laten we achtereenvolgens de toepassing zien van de items 3.
Solve poly.., 5. Solve finance en 1. Solve equation... Appendix 1-A in de
gebruikshandleiding van de rekenmachine bevat instructies voor het
gebruik van invoerschermen met voorbeelden voor de numerieke
solvertoepassingen. Item 6. MSLV (Meervoudige vergelijking SoLVer)
wordt verderop op pagina 6-11 behandeld.
Polynome Vergelijkingen
Met de Solve poly…-optie in de SOLVE-omgeving van de rekenmachine
kunt u:
(1) de oplossingen voor een polynome vergelijking vinden
(2) de coëfficiënten van de polynoom met een gegeven aantal wortels
krijgen, en
(3) een algebraïsche uitdrukking voor de polynoom als een functie van X
krijgen
De oplossingen voor een polynome vergelijking vinden
Een polynome vergelijking is een vergelijking in de vorm: an
xn
+ a
n-1
x
n-1
+ …+ a
1x
+ a
0
= 0. Los bijvoorbeeld de volgende vergelijking op: 3s
4
+
2s
3
- s + 1 = 0.
N.B.:
1. Wanneer een oplossing wordt gevonden voor een waarde m.b.v.
de NUM.SLV-toepassingen, wordt deze geplaatst in het
stapelgeheugen. Dit is handig indien u die waarde nodig heeft voor
andere bewerkingen.
2. Er zullen een of meer variabelen aangemaakt worden wanneer u
enkele van de toepassingen in het NUM.SLV-menu activeert.
Blz. 6-7
We willen de coëfficiënten van de vergelijking in een vector plaatsen:
[3,2,0,-1,1]. Probeer het volgende om deze polynome vergelijking met de
rekenmachine op te lossen:
Het scherm geeft de oplossing als volgt weer:
Druk op `om naar het stapelgeheugen terug te keren. Het
stapelgeheugen toont de volgende resultaten in de ALG-modus (de RPN-
modus zou hetzelfde resultaat geven):
Alle oplossingen zijn complexe getallen: (0.432,-0.389), (0.432,0.389), (-
0.766, 0.632), (-0.766, -0.632).
Polynome coëfficiënten genereren waarbij de wortels van de
polynoom zijn gegeven
Ga ervan uit dat u de polynomen met de wortels [1, 5, -2, 4] wilt
genereren. Volg deze stappen om met de rekenmachine de oplossing te
vinden:
‚Ϙ˜@@OK@@ Kies Solve poly…
„Ô3‚í2‚í0 Voer de vector van de
coëfficiënten in
‚í1\‚í1@@OK@@ @SOLVE@ Los de vergelijking op
‚‚Ϙ˜@@OK@@ Kies Solve poly…
˜„Ô1‚í5
Voer de vector van de
wortels in
‚í2\‚í4@@OK@@ @SOLVE@ Los de coëfficiënten op
Blz. 6-8
Druk op ` om naar het stapelgeheugen terug te keren, de coëfficiënten
zullen worden weergegeven in het stapelgeheugen.
Druk op ˜om de regeleditor te activeren om alle coëfficiënten te
bekijken.
Een algebraïsche expressie genereren voor de polynomen
U kunt de rekenmachine gebruiken om een algebraïsche expressie te
genereren voor een polynoom waarvan de coëfficiënten of de wortels
gegeven zijn. De resulterende uitdrukking wordt gegeven in de vorm van
de standaard CAS-variabele X.
Probeer het volgende voorbeeld om de algebraïsche expressie te
genereren met gebruik van de coëfficiënten. Ga ervan uit dat de polynome
coëfficiënten [1,5,-2,4] zijn. Gebruik de volgende toetsencombinaties:
De uitdrukking wordt in het stapelgeheugen als volgt weergegeven:
'X^3+5*X^2+-2*X+4'.
Probeer het volgende voorbeeld om de algebraïsche uitdrukking te
genereren met gebruik van de wortels. Ga ervan uit dat de polynome
wortels [1,3,-2,1] zijn. Gebruik de volgende toetsencombinaties:
‚Ϙ˜ Kies Solve poly…
„Ô1‚í5 Voer de vector van de
coëfficiënten in
‚í2\‚í4@@OK@@—@SYMB@
Genereer de symbolische
uitdrukking
` Keer terug naar
stapelgeheugen.
‚Ϙ˜@@OK@@ Kies Solve poly…
˜„Ô1‚í3 Voer de vector van de wortels
in
Blz. 6-9
De uitdrukking wordt in het stapelgeheugen als volgt weergegeven:
'(X-1)*(X-3)*(X+2)*(X-1)'.
Gebruik het EXPAND-commando om de producten uit te breiden.
De uitdrukking wordt: 'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'.
Financiële berekeningen
De berekeningen in item 5 Solve finance.. in de Numerieke Solver
(NUM.SLV) worden gebruikt voor berekeningen van geldwaarde in tijd. Dit
is van belang op het gebied van toegepaste economie en voor andere
financiële toepassingen. Deze toepassing kan ook worden geactiveerd
door de toetsencombinatie „Ò (verbonden aan de 9 toets).
Raadpleeg hoofdstuk 6 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over dit soort berekeningen.
Vergelijkingen met één onbekende oplossen m.b.v.
NUM.SLV
Het menu NUM.SLV van de rekenmachine geeft item 1. Solve equation..
Hierdoor worden verschillende soorten vergelijkingen opgelost in een
enkele variabele, inclusief niet-lineaire algebraïsche en transcendente
vergelijkingen. Laten we bijvoorbeeld de volgende vergelijking oplossen:
ex-sin(
πx/3) = 0.
Voer de uitdrukking simpelweg als algebraïsch onderwerp in en sla deze
op in de variabele EQ. De vereiste toetsencombinaties in ALG-modus zijn
de volgende:
³„¸~„x™-S„ì
*~„x/3™‚Å0™
K~e~q`
De functie STEQ
De functie STEQ slaat de invoer op in variabele EQ, bijv. in de ALG-
modus:
‚í2\‚í1@@OK@@˜@SYMB@
Genereer de symbolische
uitdrukking
` Terug naar stapelgeheugen.
Blz. 6-10
Voer in de RPN-modus de vergelijking in tussen aanhalingstekens en
activeer het STEQ-commando. Zo kan de functie STEQ gebruikt worden als
snelkoppeling om een uitdrukking op te slaan in variabele EQ.
Druk op J om de nieuw aangemaakte EQ-variabele te bekijken:
Ga vervolgens naar de SOLVE-omgeving en kies Solve equation… met
‚Ï@@OK@@. Het bijbehorende scherm wordt dan als volgt
weergegeven:
De vergelijking die we hebben opgeslagen in de variabele EQ is reeds
geladen in het Eq-veld in het invoerscherm SOLVE EQUATION. Er wordt
ook een veld met label x gegeven. Om de vergelijking op te lossen, hoeft u
alleen maar het veld voor X te selecteren met ˜ en druk op @SOLVE@. De
oplossing wordt weergegeven als X: 4.5006E-2:
Blz. 6-11
Dit is echter niet de enig mogelijke oplossing voor deze vergelijking. Om
bijvoorbeeld een negatieve oplossing te verkrijgen, voert u een negatief
getal in voor het X:-veld alvorens de vergelijking op te lossen. Probeer
3\@@@OK@@˜@SOLVE@. De oplossing wordt nu weergegeven als X: -
3.045.
Oplossing voor gelijktijdige vergelijkingen met
MSLV
De functie MSLV is beschikbaar in het menu ‚Ï. De helptekst voor
de functie MSLV wordt hieronder weergegeven:
Merk op dat de functie MSLV drie argumenten vereist:
1.Een vector met de vergelijkingen, bijv. ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’
Een vector met de op te lossen variabelen, bijv. ‘[X,Y]’
Een vector met beginwaarden voor de oplossing. De beginwaarden voor
zowel X als Y zijn nul voor dit voorbeeld.
Druk in de ALG-modus op @ECHO om het voorbeeld naar het
stapelgeheugen te kopiëren, druk op ` om het voorbeeld uit te breiden.
Om alle elementen in de oplossing te zien, dient u de regeleditor te
activeren door op de pijltoets omlaag te drukken (˜):
In de RPN-modus wordt de oplossing voor dit voorbeeld verkregen met
Blz. 6-12
Het activeren van de functie MSLV geeft het volgende scherm.
Het kan u opgevallen zijn dat tijdens het maken van de oplossing het
scherm tussentijdse informatie weergeeft in de linkerbovenhoek.
Aangezien de oplossing die door MSLV wordt gegeven numeriek is, toont
de informatie in de linkerbovenhoek de resultaten van het zich herhalende
proces dat gebruikt wordt om een oplossing te krijgen. De uiteindelijke
oplossing is X = 1.8238, Y = -0.9681.
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 6 en 7 in de gebruikshandleiding van de
rekenmachine voor meer informatie over het oplossen van enkele en
meervoudige vergelijkingen.
Blz. 7-1
Hoofdstuk 7
Bewerkingen met lijsten
Lijsten in een rekenmachine kunnen nuttig zijn voor gegevensverwerking.
Dit hoofdstuk laat voorbeelden zien van bewerkingen met lijsten. Om te
beginnen met de voorbeelden in dit hoofdstuk gebruiken we de
Approximate-modus (zie hoofdstuk 1).
Lijsten aanmaken en opslaan
Druk eerst op de haakjestoets „ä en voer dan de elementen van de
lijstlijst in om een lijstlijst aan te maken in de ALG-modus. De elementen
dienen door komma’s (‚í). gescheiden te worden. De volgende
toetsencombinaties voeren de lijstlijst {1.,2.,3.,4.} in en slaan deze op in
variabele L1.
„ä1‚í2‚í3‚í4
™K~l1`
Dezelfde lijstlijst invoeren in de RPN-modus vereist de volgende
toetsencombinaties:
„ä1#2#3#4`
³~l1`K
Bewerkingen met getallenlijsten
Voer de volgende lijsten in de corresponderende variabelen in en sla deze
op om bewerkingen met getallenlijsten te illustreren.
L2 = {-3.,2.,1.,5.} L3 = {-6.,5.,3.,1.,0.,3.,-4.} L4 = {3.,-2.,1.,5.,3.,2.,1.}
Veranderend teken
De verander-tekentoets (\) verandert het teken van alle elementen in de
lijst wanneer toegepast op een getallenlijst. Bijvoorbeeld:
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen
Het vermenigvuldigen en delen van een lijst met een enkel getal wordt
verdeeld over de lijst. Bijvoorbeeld:
Blz. 7-2
Aftrekken van een enkel getal van een lijst zal hetzelfde getal aftrekken van
elk element in de lijst. Bijvoorbeeld:
Optellen van een enkel getal bij een lijst geeft een lijst die is uitgebreid
met het getal en geen optelling van het getal bij elk element in de lijst.
Bijvoorbeeld:
Aftrekken, vermenigvuldigen en delen van getallenlijsten van dezelfde
lengte geven een lijst van dezelfde lengte met term-voor-term uitgevoerde
bewerkingen. Voorbeelden:
De deling L4/L3 geeft een oneindig getal omdat een van de elementen in
L3 nul is. Er wordt een foutbericht gegeven.
Blz. 7-3
Als de betrokken lijsten in de bewerking verschillend van lengte zijn, wordt
een foutbericht (Ongeldige Afmetingen) weergegeven. Probeer
bijvoorbeeld L1-L4.
Het plusteken (+), wanneer toegepast op een lijst, gedraagt zich als
een schakelaar en voegt de twee lijsten samen in plaats van ze term voor
term bij elkaar op te tellen. Bijvoorbeeld:
We moeten de operator ADD gebruiken om een term-voor-term optelling
van de twee lijsten te maken. Deze operator kan geladen worden met de
catalogusfunctie (‚N). Het onderstaande scherm geeft een
toepassing weer van ADD om de lijsten L1 en L2 term voor term op te
tellen:
Functies toegepast op lijsten
Reële getallenfuncties van het toetsenbord (ABS, e
x
, LN, 10
x
, LOG, SIN,
x
2
, √, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, y
x
) en de functies van het menu
MTH/HYPERBOLIC (SINH, COSH, TANH, ASINH, ACOSH, ATANH), en
het menu MTH/REAL (%, enz.) kunnen worden toegepast op lijsten, bijv.
N.B.: als we de elementen in de lijsten L4 en L3 als hele getallen
ingevoerd zouden hebben, zou het oneindig-symbool steeds
weergegeven zijn bij een deling door nul. Voor het volgende resultaat
moet de lijst opnieuw worden ingevoerd als hele getallen (verwijder
decimale punten) in de Exact-modus:
Blz. 7-4
Lijsten van complexe getallen
U kunt een lijst van complexe getallen maken, bijv. L1 ADD i*L2. In RPN
modus kan u dit doen door dit als L1 i L2 ADD * in te voeren. Het resultaat
is:
Functies zoals LN, EXP, SQ, enz. kunnen ook worden toegepast op een lijst
van complexe getallen, bijv.
Lijsten van algebraïsche objecten
Hieronder staan voorbeelden van lijsten van algebraïsche objecten
waarop de functie SIN is toegepast (kies de Exact-modus voor deze
voorbeelden – zie hoofdstuk 1):
ABS INVERSE (1/x)
Blz. 7-5
Het menu MTH/LIST
Het menu MTH biedt een aantal functies die alleen van toepassing zijn op
lijsten. Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE-boxes geeft het menu
MTH/LIST de volgende functies weer:
Met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT-menus geeft het menu MTH/LIST
de volgende functies weer:
De bewerking van het menu MTH/LIST is als volgt:
Voorbeelden voor de toepassing van deze functies in de ALG-modus
worden hierna weergegeven:
∆LIST Berekent toename onder opeenvolgende elementen in de
lijst
ΣLIST Berekent som van de elementen in de lijst
ΠLIST Berekent product van de elementen in de lijst
SORT Sorteert elementen in oplopende volgorde
REVLIST Draait de volgorde van de lijst om
ADD
Operator voor het term-voor-term optellen van twee lijsten
met dezelfde lengte (voorbeelden voor deze operator
worden hierboven weergegeven)
Blz. 7-6
SORT en REVLIST kunnen worden gecombineerd om een lijst in afnemende
volgorde te sorteren:
Indien u in RPN modus werkt, voert u de lijst in het stapelgeheugen in en
selecteert vervolgens de bewerking die u wenst uit te voeren. Om de
toenames te bepalen tussen opeenvolgende elementen in lijst L3, druk:
l3`!´˜˜#OK# #OK#
Dit plaatst L3 in het stapelgeheugen en selecteert vervolgens de
∆LIST
bewerking uit het MTH menu
De functie SEQ
De functie SEQ, beschikbaar via de commandocatalogus (‚N),
neemt als argumenten een uitdrukking in de vorm van een index, de naam
van de index en begin-, eind- en toenamewaarden voor de index en geeft
een lijst die bestaat uit de evaluatie van de uitdrukking voor alle mogelijke
waarden van de index. De algemene vorm van de functie is
SEQ(uitdrukking, index, begin, eind, toename)
Bijvoorbeeld:
Deze lijst correspondeert met de waarden {1
2
, 2
2
, 3
2
, 4
2
}.
De functie MAP
De functie MAP, beschikbaar via de commandocatalogus (‚N)
neemt als argumenten een lijst van getallen en een functie f(X) en maakt
Blz. 7-7
een lijst bestaande uit de toepassing van deze functie f of het programma
op de lijst met getallen. Voorbeeld: de volgende vraag naar de functie
MAP past de SIN(X)-functie toe op de lijst {1,2,3}:
In ALG modus is de syntax als volgt:
~~map~!Ü!ä1@í2@í3™
@íS~X`
In RPN modus is de syntax:
!ä1@í2@í3`³S~X`~
~map`
In beide gevallen kan u het volledige MAP commando uittypen (zoals in
de hierboven vermelde voorbeelden), of kan u het commando selecteren
uit het CAT menu.
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 8 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer referenties, voorbeelden and toepassingen van lijsten.
Blz. 8-1
Hoofdstuk 8
Vectoren
Dit hoofdstuk laat voorbeelden zien van het invoeren en bewerkingen van
vectoren. Zowel mathematische vectoren van veel elementen als fysieke
vectoren bestaande uit 2 en 3 componenten.
Vectoren invoeren
In de rekenmachine worden vectoren weergegeven als een reeks getallen
tussen haakjes en worden ze meestal ingevoerd als rijvectoren. De haakjes
worden in de rekenmachine aangemaakt met de toetsencombinatie
„Ô (verbonden met de toets *). Hieronder worden voorbeelden
weergegeven van vectoren in de rekenmachine:
Vectoren in het stapelgeheugen invoeren.
Met de rekenmachine in de ALG-modus kunt u een vector in het
stapelgeheugen invoeren door een set haakjes („Ô) te openen en de
componenten of elementen gescheiden door komma’s (‚í) in te
voeren. De volgende schermweergaven geven weer hoe een numerieke
vector gevolgd door een algebraïsche vector wordt ingevoerd. De
linkerafbeelding geeft de algebraïsche vector weer voor het indrukken van
`. De rechterafbeelding geeft het scherm weer na het invoeren van de
algebraïsche vector:
In de RPN-modus kunt u een vector invoeren in het stapelgeheugen door
een set haakjes te openen en de vectorcomponenten of –elementen
gescheiden door komma’s (‚í) of spaties (#) in te voeren. Na het
indrukken van ` geeft de rekenmachine de vectorelementen gescheiden
door spaties weer.
[3.5, 2.2, -1.3, 5.6, 2.3] Een algemene rijvector
[1.5,-2.2] Een 2-D-vector
[3,-1,2] Een 3-D-vector
['t','t^2','SIN(t)'] Een algebraïsche vector
Blz. 8-2
Vectoren opslaan in variabelen in het
stapelgeheugen
Vectoren kunnen worden opgeslagen in variabelen. De volgende
schermweergaven geven de vectoren weer.
u
2
= [1, 2], u
3
= [-3, 2, -2], v
2
= [3,-1], v
3
= [1, -5, 2]
Respectievelijk opgeslagen in de variabelen @@@u2@@, @@@u3@@, @@@v2@@ en @@@v3@@.
Eerst, in de ALG-modus:
Dan in de RPN-modus (alvorens herhaaldelijk op Kte drukken):
De Matrixschrijver (MTRW) gebruiken om vectoren in
te voeren
Vectoren kunnen ook worden ingevoerd m.b.v. de Matrixschrijver „²
(derde toets in de vierde toetsenrij boven in het toetsenbord). Dit
commando genereert een soort spreadsheet die overeenkomt met de rijen
en kolommen van een matrix (informatie over het gebruik van de
Matrixschrijver om matrices in te voeren, wordt in een Hoofdstuk 9
behandeld). Voor een vector zijn we geïnteresseerd in het plaatsen van
elementen in alleen de bovenste rij. Standaard is de cel in de bovenste rij
N.B.: de apostroffen (‘) hoeven meestal niet te worden ingevoerd bij
de namen u2, v2, enz. in de RPN modus. In dit geval zijn ze gebruikt
om bestaande variabelen te overschrijven die eerder in de ALG
modus zijn aangemaakt. Apostroffen dienen dus gebruikt te worden
indien de bestaande variabelen niet van te voren zijn gewist.
Blz. 8-3
en de eerste kolom geselecteerd. Onder in de spreadsheet vindt u de
volgende softmenutoetsen:
@EDIT!
De @EDIT-toets wordt gebruikt om de inhoud van een geselecteerde cel
in de Matrixschrijver te bewerken.
De -toets, wanneer geselecteerd, geeft een vector in plaats van
een matrix van een rij en vele kolommen.
De -toets wordt gebruikt om de breedte van de kolommen in de
spreadsheet te verkleinen. Druk enkele malen op deze toets om de
kolombreedte in uw Matrixschrijver te zien afnemen.
De -toets wordt gebruikt om de breedte van de kolommen in de
spreadsheet te vergroten. Druk enkele malen op deze toets om de
kolombreedte in uw Matrixschrijver te zien toenemen.
De -toets, wanneer geselecteerd, selecteert automatisch de
volgende cel, rechts van de huidige cel, wanneer u op ` drukt. Deze
optie is standaard geselecteerd. Deze optie dient, indien gewenst,
geselecteerd te worden alvorens de elementen in te voeren.
De - toets, wanneer geselecteerd, selecteert automatisch de
volgende cel, onder de huidige cel, wanneer u op ` drukt. Deze
optie dient, indien gewenst, geselecteerd te worden alvorens de
elementen in te voeren.
Activeer de Matrixschrijver opnieuw met „² en druk op L om het
tweede softtoetsmenu onderin het beeldscherm uit te proberen. U ziet de
volgende toetsen:
@+ROW@ @-ROW @+COL@ @-COL@ @GOTO@
De @+ROW@-toets voegt een rij nullen toe op de plaats van de op de
spreadsheet geselecteerde cel.
De @-ROW -toets verwijdert de rij behorende bij de op de spreadsheet
geselecteerde cel.
Naar rechts bewegen vs. naar beneden bewegen in de
Matrixschrijver
Activeer de Matrixschrijver en voer 3`5`2`` in
waarbij de -toets is geselecteerd (standaard). Voer dan
dezelfde getallenreeks in waarbij de -toets is geselecteerd om
het verschil te zien. In het eerste geval heeft u een vector van drie
elementen ingevoerd. In het tweede geval heeft u een matrix van drie
rijen en een kolom ingevoerd.
Blz. 8-4
De @+COL@- toets voegt een kolom nullen toe op de plaats van de op de
spreadsheet geselecteerde cel.
De @-COL@ -toets verwijdert de kolom behorende bij de op de
spreadsheet geselecteerde cel.
De -toets plaatst de inhoud van de geselecteerde cel in het
stapelgeheugen.
De @GOTO@ -toets, wanneer ingedrukt, vraagt de gebruiker het nummer
van de rij en de kolom in te voeren waar hij of zij de cursor geplaatst
wil hebben.
Door nogmaals op L te drukken, wordt het laatste menu weergegeven
met slechts een functie @@DEL@ (wissen).
De functie @@DEL wist de inhoud van de geselecteerde cel en vervangt
deze door een nul.
Probeer de volgende oefening om deze toetsen in actie te zien.
(1) Activeer de Matrixschrijver met „². Zorg ervoor dat de
en toetsen geselecteerd zijn.
(2) Voer het volgende in:
1`2`3`
L@GOTO@ 2@@OK@@1@@OK@@ @@OK@@
4`5`6`
7`8`9`
(3) Beweeg de cursor twee posities naar boven met ——. Druk dan op
@-ROW. De tweede rij verdwijnt.
(4) Druk op @+ROW@. Een rij met drie nullen verschijnt in de tweede rij.
(5) Druk op @-COL@. De eerste kolom verdwijnt.
(6) Druk op @+COL@. Een kolom met twee nullen verschijnt in de eerste kolom.
(7)Druk op @GOTO@ 3@@OK@@ 3@@OK@@ @@OK@@ om naar positie (3,3) te
bewegen.
(8) Druk op . Dit plaatst de inhoud van cel (3,3) in het
stapelgeheugen. Dit is echter nog niet zichtbaar. Druk op ` om naar
het normale scherm terug te keren. Het getal 9, element (3,3) en de
volledige ingevoerde matrix zijn beschikbaar in het stapelgeheugen.
Eenvoudige bewerkingen met vectoren
Ter illustratie van bewerkingen met vectoren gebruiken we de vectoren u2,
u3, v2 en v3 die tijdens een eerdere oefening zijn opgeslagen. Sla tevens
Blz. 8-5
de vector A=[-1,-2,-3,-4,-5] op. We zullen deze in de volgende oefeningen
gebruiken.
Veranderend teken
Gebruik de \-toets om het teken van een vector te veranderen. Bijv.
Optellen, aftrekken
Het optellen en aftrekken van vectoren vereist dat de twee
vectoroperanden dezelfde lengte hebben.
Indien u probeert vectoren van verschillende lengtes op te tellen of af te
trekken, wordt er een foutbericht weergegeven:
Vermenigvuldigen met een scalair en delen door een
scalair
Vermenigvuldigen met een scalair of delen door een scalair is eenvoudig:
Blz. 8-6
De functie absolute waarde
De functie absolute waarde (ABS) geeft bij toepassing op een vector de
grootte van de vector. Bijvoorbeeld: ABS([1,-2,6]), ABS(A),
ABS(u3) wordt op het scherm als volgt weergegeven:
Het menu MTH/VECTOR
Het menu MTH („´) bevat een functiemenu speciaal voor
vectorobjecten:
Het menu VECTOR bevat de volgende functies (systeemvlag 117 ingesteld
op CHOOSE-boxes):
Blz. 8-7
Grootte
Zoals eerder besproken, kan de grootte van een vector gevonden worden
met de functie ABS. Deze functie kan tevens via het toetsenbord
geactiveerd worden („Ê). Toepassingsvoorbeelden van ABS worden
hierboven weergegeven.
Scalair product
De functie DOT (optie 2 in het bovenstaande CHOOSE-vakje) wordt
gebruikt om het scalair product van twee vectoren met dezelfde lengte te
berekenen. Enkele toepassingsvoorbeelden van de functie DOT met
gebruik van de eerder opgeslagen vectoren A, u2, u3, v2 en v3 worden
hieronder in de ALG-modus weergegeven. Pogingen om het scalair
product van twee vectoren van verschillende lengte te berekenen geven
een foutbericht.
Vectorieel product
De functie CROSS (optie 3 in het menu MTH/VECTOR) wordt gebruikt om
het vectorieel product van twee 2-D vectoren, twee 3-D vectoren of een 2-D
vector en een 3-D vector te berekenen. Bij het berekenen van een vectorieel
product wordt een 2-D vector in de vorm [A
x
, A
y
] behandeld als een 3-D
vector [A
x
, A
y
,0]. Hieronder worden voorbeelden in de ALG-modus
weergegeven voor twee 2-D en twee 3-D vectoren. Het vectorieel product
van twee 2-D vectoren geeft een vector in alleen de z-richting, ofwel een
vector in de vorm [0, 0, C
z
]:
Blz. 8-8
Hieronder worden voorbeelden weergegeven van vectorieel producten van
een 3-D vector en een 2-D vector en vice-versa:
Bij pogingen om een vectorieel product van vectoren met andere lengtes
dan 2 of 3 te berekenen wordt een foutbericht weergegeven.
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 9 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over bewerkingen met vectoren, inclusief
toepassingen in de natuurkunde.
Blz. 9-1
Hoofdstuk 9
Matrices en lineaire algebra
Dit hoofdstuk laat voorbeelden zien van het aanmaken van matrices en
bewerkingen met matrices, inclusief toepassingen van lineaire algebra.
Matrices in het stapelgeheugen invoeren
In deze paragraaf laten we twee verschillende manieren zien waarop
matrices in het stapelgeheugen van de rekenmachine kunnen worden
ingevoerd: (1) met de Matrixschrijver en (2) door de matrix direct in het
stapelgeheugen in te voeren.
Met de Matrixschrijver
Net als vectoren, behandeld in Hoofdstuk 8, kunnen matrices in het
stapelgeheugen worden ingevoerd m.b.v. De Matrixschrijver. Om
bijvoorbeeld de matrix in te voeren:
activeer eerst de Matrixschrijver met „². Zorg ervoor dat de optie
is geselecteerd. Gebruik dan de volgende toetsencombinaties:
2.5\`4.2`2`˜ššš
.3`1.9`2.8`
2`.1\`.5`
Nu ziet het beeldscherm van de Matrixschrijver- er als volgt uit:
Druk nogmaals op ` om de matrix in het stapelgeheugen te plaatsen.
Het stapelgeheugen in de ALG-modus ziet u hieronder, voor en na het
indrukken van `,
,
5.01.02
8.29.13.0
0.22.45.2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
Blz. 9-2
Indien u de optie weergave textbook heeft geselecteerd (d.m.v. H@)DISP!
en het aanvinken van P
Textbook), ziet de matrix eruit zoals hierboven
weergegeven. Anders wordt het volgende scherm weergegeven:
Het scherm in de RPN-modus lijkt hier erg op.
De Matrix direct in het stapelgeheugen invoeren
Hetzelfde resultaat als hierboven kan bereikt worden door het volgende
direct in het stapelgeheugen in te voeren:
„Ô
„Ô2.5\‚í4.2‚í2™
‚í
„Ô.3‚í1.9‚í2.8™
‚í
„Ô2‚í.1\‚í.5`
Open dus een set haakjes („Ô) om de matrix direct in het
stapelgeheugen in te voeren en plaats nog een set haakjes („Ô) om
iedere rij van de matrix. Komma’s (‚í.) dienen de elementen van
iedere rij en de haakjes tussen de rijen te scheiden.
We bewaren deze matrix onder de naam A voor toekomstige oefeningen.
Gebruik in de ALG-modus K~a en in de RPN-modus
³~aK.
Bewerkingen met matrices
Matrices kunnen net als andere wiskundige grootheden worden opgeteld
en afgetrokken. Ze kunnen met een scalair of onderling worden
Blz. 9-3
vermenigvuldigd, en tot een reële macht worden verheven. Een belangrijke
bewerking voor lineaire algebratoepassingen is de inversie van een
matrix. Meer informatie over deze bewerkingen worden hieronder
gegeven.
Om de bewerkingen te illustreren, zullen we een aantal matrices
aanmaken die we in de volgende variabelen zullen opslaan. Hier zijn de
matrices A22, B22, A23, B23, A33 en B33 (De willekeurige matrices in
uw rekenmachine kunnen verschillend zijn):
In de RPN-modus dient u de volgende stappen te volgen:
Optellen en aftrekken
Hieronder volgen vier voorbeelden met de hierboven opgeslagen matrices
(ALG-modus).
{2,2}` RANM 'A22'`K {2,2}` RANM 'B22'`K
{2,3}` RANM 'A23'`K {2,3}` RANM 'B23'`K
{3,2}` RANM 'A32'`K
{3,2}` RANM 'B32'`K
{3,3}` RANM 'A33'`K {3,3}` RANM 'B33'`K
Blz. 9-4
In de RPN-modus dient u de volgende stappen te volgen:
Vermenigvuldiging
Er zijn een aantal vermenigvuldigingsbewerkingen voor matrices. Ze
worden hieronder beschreven. De voorbeelden worden weergegeven in
de Algebraic-modus.
Vermenigvuldiging met een scalair
Hieronder volgen enkele voorbeelden van vermenigvuldiging van een
matrix met een scalair.
Matrix-vectorvermenigvuldiging
Matrix-vectorvermenigvuldiging is alleen mogelijk indien het aantal
kolommen van de matrix gelijk is aan de lengte van de vector. Hier volgen
enkele voorbeelden van matrix-vectorvermenigvuldiging:
A22 ` B22`+ A22 ` B22`-
A23 ` B23`+ A23 ` B23`-
A32 ` B32`+ A32 ` B32`-
A33 ` B33`+ A33 ` B33`-
Blz. 9-5
Anderzijds is vector-matrixvermenigvuldiging niet gedefinieerd. Deze
vermenigvuldiging kan echter wel uitgevoerd worden als een speciaal
geval van matrixvermenigvuldiging zoals hieronder uitgewerkt.
Matrixvermenigvuldiging
Matrixvermenigvuldiging is gedefinieerd als C
m
×
n
= A
m
×
p
⋅B
p
×
n
.
Matrixvermenigvuldiging is alleen mogelijk als het aantal kolommen in de
eerste operand gelijk is aan het aantal rijen in de tweede operand. De
algemene term in het product, c
ij
, is gedefinieerd als
Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief, d.w.z. in het algemeen A
⋅B ≠
B⋅A. Verder kan het zijn dat een van de vermenigvuldigingen zelfs niet
bestaat. De volgende schermweergaven geven het resultaat weer van
vermenigvuldigingen van de matrices die we eerder hebben opgeslagen.
Term-voor-term vermenigvuldiging
Term-voor-term vermenigvuldiging van twee matrices met dezelfde
afmetingen is mogelijk met de functie HADAMARD. Vanzelfsprekend is het
resultaat een matrix met dezelfde afmetingen. Deze functie is beschikbaar
via de Functiecatalogus (‚N) of via het submenu MATRICES/
OPERATIONS („Ø). Hieronder volgen toepassingen van de functie
HADAMARD:
.,,2,1;,,2,1,
1
njmiforbac
p
k
kjikij
KK ==⋅=
∑
=
Blz. 9-6
Een matrix tot een reële macht verheffen
U kan een matrix tot een macht verheffen, op voorwaarde dat de macht
een reëel getal is. Het volgende voorbeeld geeft het resultaat weer van het
verheffen van matrix B22, hiervoor reeds gecreëerd, tot de vijfde macht:
U kan eveneens een matrix tot een macht verheffen zonder deze eerst op te
slaan als variabele:
In algebraïsche modus is de volgorde van in te drukken toetsen: [voer de
matrix in of selecteer deze] Q [voer de macht in ] `.
In RPN modus is de volgorde van in te drukken toetsen: [voer de matrix in
of selecteer deze] † [voer de macht in ] Q `.
De identiteitsmatrix
De identiteitsmatrix heeft de eigenschap dat A⋅I = I⋅A = A. Om deze
eigenschap te verifiëren, geven we de volgende voorbeelden met de
matrices die we eerder hebben opgeslagen. Gebruik de functie IDN (zoek
deze in het menu MTH/MATRIX/MAKE) om de identiteitsmatrix weer te
geven die hier wordt getoond:
Blz. 9-7
De inverse matrix
De inversie van een vierkante matrix A is de matrix A
-1
zodat A⋅A
-1
= A
-
1
⋅A = I, waarbij I de identiteitsmatrix is met dezelfde afmetingen als A. U
verkrijgt de inversie van een matrix in de rekenmachine m.b.v. de
inversiefunctie INV (d.w.z. de toets Y). Hieronder volgen voorbeelden
van inversie van enkele eerder opgeslagen matrices :
Om de eigenschappen van de inverse matrix te verifiëren, geven we de
volgende vermenigvuldigingen:
Een matrix karakteriseren (Het menu matrix
NORM)
Het menu matrix NORM (NORMALIZE) is toegankelijk met de
toetsencombinatie „´. Dit menu wordt uitvoerig beschreven in
hoofdstuk 10 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine. Enkele van
deze functies worden hieronder beschreven.
Blz. 9-8
De functie DET
De functie DET berekent de determinant van een vierkante matrix.
Bijvoorbeeld:
De functie TRACE
De functie TRACE berekent de diagonaalsom van een vierkante matrix,
gedefinieerd als de som van de elementen in de hoofddiagonaal,of
.
Voorbeelden:
Oplossing van lineaire systemen
Een stelsel van n lineaire vergelijkingen in m variabelen kan geschreven
worden als
a
11
⋅x
1
+ a
12
⋅x
2
+ a
13
⋅x
3
+ …+ a
1,m-1
⋅x
m-1
+ a
1,m
⋅x
m
= b
1
,
a
21
⋅x
1
+ a
22
⋅x
2
+ a
23
⋅x
3
+ …+ a
2,m-1
⋅x
m-1
+ a
2,m
⋅x
m
= b
2
,
a
31
⋅x
1
+ a
32
⋅x
2
+ a
33
⋅x
3
+ …+ a
3,m-1
⋅x
m-1
+ a
3,m
⋅x
m
= b
3
,
. . . … . . .
a
n-1,1
⋅x
1
+ a
n-1,2
⋅x
2
+ a
n-1,3
⋅x
3
+ …+ a
n-1,m-1
⋅x
m-1
+ a
n-1,m
⋅x
m
= b
n-1
,
a
n1
⋅x
1
+ a
n2
⋅x
2
+ a
n3
⋅x
3
+ …+ a
n,m-1
⋅x
m-1
+ a
n,m
⋅x
m
= b
n
.
Dit stelsel van lineaire vergelijkingen kan geschreven worden als een
matrixvergelijking A
n×m
⋅x
m×1
= b
n×1
, indien we de volgende matrices en
vectoren definiëren:
∑
=
=
n
i
ii
atr
1
)(A
Blz. 9-9
, ,
De numerieke solver gebruiken voor lineaire
systemen
Er zijn vele manieren om een stelsel van lineaire vergelijkingen met de
rekenmachine op te lossen. Een mogelijkheid is m.b.v. de numerieke solver
‚Ï. Selecteer optie 4. Solve lin sys.. in het hieronder (links)
weergegeven scherm van de numerieke solver en druk op @@@OK@@@. Het
volgende invoerscherm wordt dan weergegeven (rechts):
Voer matrix A in de opmaak [[ a
11
, a
12,
… ], … [….]] in het A-veld in om
het lineaire stelsel A
⋅x = b op te lossen. Voer tevens de vector b in in het
B:-veld. . Druk op @SOLVE wanneer het X:-veld is geselecteerd. De
oplossingsvector x zal worden weergegeven in het X-veld indien er een
oplossing beschikbaar is. De oplossing wordt tevens gekopieerd naar
niveau 1 in het stapelgeheugen. Hier volgen een aantal voorbeelden:
Het stelsel van lineaire vergelijkingen
2x
1
+ 3x
2
–5x
3
= 13,
x
1
– 3x
2
+ 8x
3
= -13,
2x
1
– 2x
2
+ 4x
3
= -6,
kan worden geschreven als de matrixvergelijking A
⋅x = b indien
mn
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
1
2
1
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
m
m
x
x
x
x
M
1
2
1
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
b
b
b
b
M
.
6
13
13
,,
422
831
532
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
= bxA and
x
x
x
Blz. 9-10
Dit stelsel heeft hetzelfde aantal vergelijkingen als onbekenden en er zal
naar worden verwezen als een vierkant stelsel. In het algemeen zou er een
oplossing voor het stelsel moeten zijn. De oplossing is het kruispunt van de
drie vlakken in het coördinatenstelsel (x
1
, x
2
, x
3
) weergegeven door de
drie vergelijkingen.
Om matrix A in te voeren, kunt u de Matrixschrijver activeren tijdens het
selecteren van het A:-veld. Het volgende scherm toont het gebruik van de
Matrixschrijver voor het invoeren van matrix A en het invoerscherm voor de
numerieke solver na het invoeren van matrix A (druk op ` in de
Matrixschrijver):
Druk op ˜ om het B:-veld te selecteren. De vector b kan worden
ingevoerd als een rijvector met een enkele set haakjes, bijv. [13,-13,-
6] @@@OK@@@ .
Na het invoeren van matrix A en vector b en het selecteren van het X:-veld
kunnen we op @SOLVE drukken om te proberen een oplossing te krijgen
voor dit stelsel van vergelijkingen:
De volgende oplossing werd gevonden.
Blz. 9-11
Oplossing met de inverse matrix
De oplossing voor het stelsel A⋅x = b, waarbij A een vierkante matrix is x
= A
-1
⋅ b. Voor het eerder gebruikte voorbeeld kunnen we de oplossing in
de rekenmachine als volgt vinden (Voer eerst matrix A en vector b
nogmaals in):
Oplossing door “deling” van matrices
Terwijl de bewerking voor het delen voor matrices niet is gedefinieerd,
kunnen we de /toets van de rekenmachine gebruiken om vector b door
matrix A te "delen" om x op te lossen in de matrixvergelijking A
⋅x = b.
De procedure voor "delen" van het geval van b door A wordt hieronder
weergegeven voor het bovenstaande voorbeeld.
De procedure wordt weergegeven in de volgende schermweergaven (voer
de matrices A en vector b nogmaals in):
Referenties
Raadpleeg hoofdstuk 10 en 11 in de gebruikshandleiding van de
rekenmachine voor meer informatie over het maken van matrices,
matrixbewerkingen en matrixtoepassingen in lineaire algebra.
Blz. 10-1
Hoofdstuk 10
Grafieken
In dit hoofdstuk introduceren we enkele van de grafische mogelijkheden
van de rekenmachine. We laten grafieken van functies in Cartesiaanse
coördinaten en polaire coördinaten, parametrische grafieken, conische
grafieken, staafdiagrammen, puntgrafieken en snelle 3D-grafieken zien.
Grafische opties in de rekenmachine
Voor de lijst van grafische vormen in de rekenmachine gebruikt u de
toetsencombinatie
()
„ô D . Indien u de RPN-modus gebruikt,
dienen deze twee toetsen tegelijkertijd
ingedrukt te worden om de
grafische functies te activeren. Na activering van de 2D/3D-functie
verschijnt het PLOT SETUP-scherm met daarin het TYPE-veld zoals hieronder
weergegeven.
Precies voor het TYPE-veld is hoogstwaarschijnlijk de optie Function
geselecteerd. Dit is het standaardtype grafiek voor de rekenmachine. Om
de lijst met beschikbare grafieksoorten te zien, drukt u op de softmenutoets
@CHOOS. Er verschijnt dan een drop-downmenu met de volgende opties
(gebruik de pijljes omlaag/omhoog om alle opties te bekijken):
Blz. 10-2
Een uitdrukking van de vorm y = f(x) plotten
Laten we bijvoorbeeld de volgende functie plotten:
• Ga eerst naar de PLOT SETUP-omgeving door op „ô te drukken.
Zorg ervoor dat de optie Function geselecteerd is als TYPE en dat ‘X’ is
geselecteerd als de onafhankelijke variabele (INDEP). Druk op
L@@@OK@@@ om naar het normale scherm van de rekenmachine terug te
keren. Het PLOT-SETUP-scherm dient er ongeveer als volgt uit te zien:
• Ga naar de PLOT omgeving door op „ñte drukken (tegelijkertijd
indrukken in de RPN-modus). Druk op @ADD om naar de
vergelijkingenschrijver te gaan. U wordt gevraagd om de rechterkant
van een vergelijking Y1(x) = in te vullen. voer de functie in die u wilt
plotten, zodat de Vergelijkingenschrijver het volgende weergeeft:
•Druk op ` om terug te keren naar het PLOT-FUNCTION-scherm. De
uitdrukking ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/
√(2*π)’ wordt gemarkeerd. Druk op
)
2
exp(
2
1
)(
2
x
xf −=
π
Blz. 10-3
L@@@OK@@@ om naar het normale scherm van de rekenmachine terug te
keren.
• Ga naar de PLOT WINDOW-omgeving door op „ò te drukken
(tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus). Gebruik een bereik van –4
tot 4 voor de H-VIEW en druk dan op @AUTO om automatisch de V-VIEW
te genereren. Het PLOT WINDOW-scherm ziet er als volgt uit:
• Plot de grafiek: @ERASE @DRAW (wacht tot de rekenmachine klaar is met de
grafieken)
• Om labels te bekijken: @EDIT L @LABEL @MENU
• Om terug te keren naar het eerste grafiekenmenu: LL@)PICT
• Om de curve te traceren: @TRACE @@X,Y@@ . Gebruik de rechter- en
linkerpijltoetsen (š™) om de curve te verplaatsen. De coördinaten
van de punten die u traceert worden onderaan in het scherm
weergegeven. Controleer dat voor x = 1.05 , y = 0.0231. Controleer
dat ook voor x = -1.48 , y = 0.134. Hier ziet u de afbeelding van de
grafiek in de traceermodus:
•Druk op L@CANCL om terug te keren naar het menu en de PLOT
WINDOW-omgeving. Druk op L@@OK@@ om terug te keren naar
normale weergave.
Een tabel genereren van waarden voor een
functie
De combinaties „õ(E) en „ö(F), tegelijkertijd indrukken
in de RPN-modus, laat de gebruiker een tabel van waarden van functies
maken. We maken als voorbeeld een tabel van de functie Y(X) = X/(X+10)
in het bereik -5 < X < 5 aan de hand van de volgende aanwijzingen:
Blz. 10-4
• We genereren waarden van de hierboven gedefinieerde functie f(x)
voor waarden van x van –5 tot 5 in stapgrootten van 0.5. Eerst moeten
we ervoor zorgen dat het grafiektype op
FUNCTION staat in het PLOT-
SETUP-scherm („ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus). Het
veld voor de Type--optie wordt gemarkeerd. , Druk op de softtoets
@CHOOS en selecteer de
FUNCTION-optie als dit veld niet al is ingesteld
op
FUNCTION, druk vervolgens op @@@OK@@@.
•Druk vervolgens op ˜ om het veld naast de EQ-optie te markeren en
voer de volgende functie-uitdrukking in: ‘X/(X+10)’. Druk op `”.
•Druk op L @@@OK@@@ om de veranderingen in het PLOT-SETUP-scherm te
accepteren. U keert terug naar het normale scherm van de
rekenmachine.
• De volgende stap is om naar het Tabel-Setup-scherm te gaan met de
toetsencombinatie „õ (behorende bij softtoets E) –
tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus. Nu verschijnt een scherm
waar u de startwaarde (Start) en de stapgrootte (Step) kunt selecteren.
Voer het volgende in: 5\ @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ 0.5
@@@OK@@@ (d.w.z. Zoomfactor = 0.5). Druk herhaaldelijk op de -
softmenutoets tot een selectie-indicatie verschijnt voor de optie Small
Font. Druk vervolgens op @@@OK@@@. U keert nu terug naar het normale
scherm van de rekenmachine.
•Druk op „ö(behorende bij softmenutoets F) om de tabel te
bekijken – tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus. Nu verschijnt een
tabel met waarden van x = -5, -4.5, …, en de corresponderende
waarden van f(x), worden standaard als Y1 genoteerd. U kunt de
pijltoetsen omhoog/omlaag gebruiken om door de tabel te bewegen.
Het zal u opvallen dat we geen eindwaarde voor de onafhankelijke
variabele x aan hebben geven. De tabel gaat daarom verder dan de
voorgestelde maximumwaarde voor x, namelijk x = 5.
Enkele opties die beschikbaar zijn terwijl de tabel zichtbaar is, zijn @ZOOM,
@@BIG@ en @DEFN:
•De @DEFN-toets geeft, wanneer geselecteerd, de definitie weer van de
onafhankelijke variabele.
•De @@BIG@ -toets verandert eenvoudigweg de lettertekens van klein naar
groot en andersom. Probeer het maar uit.
•De @ZOOM-toets geeft wanneer geselecteerd, een menu weer met de
volgende opties: In, Out, Decimal, Integer en Trig. Probeer de volgende
oefeningen:
•Druk op @@@OK@@@ met de optie In gemarkeerd. De tabel wordt
uitgebreid zodat de x-stapgrootte nu 0.25 is in plaats van 0.5. Het
Blz. 10-5
is simpel. De rekenmachine vermenigvuldigd de originele
stapgrootte 0.5 met de zoomfactor 0.5 om zo te komen tot de
nieuwe stapgrootte 0.25. De zoom in-optie is handig wanneer u
een hogere resolutie wilt voor de waarden van x in uw tabel.
•Druk op @ZOOM, selecteer In nogmaals en druk dan op @@@OK@@@ om de
resolutie met nog een factor 0.5 te verhogen. De x-stapgrootte is nu
0.0125.
•Druk op @ZOOM—@@@OK@@@ om de optie Un-zoom te selecteren die weer
terugkeert naar de vorige x-stapgrootte. De x-stapgrootte is nu
verhoogd naar 0.25.
• U kunt nogmaals een un-zoom uitvoeren of de optie zoom out
gebruiken door te drukken op @ZOOM ˜@@@OK@@ om de originele x-
stapgrootte van 0.5 in te stellen.
• De optie Decimal in @ZOOM geeft x-stapgrootten van 0.10.
• De optie Integer in @ZOOM geeft x-stapgrootten van 1.
• De optie Trig in geeft stapgrootten die gerelateerd zijn aan breuken
van
π, dat is handig als u tabellen maakt van trigonometrische
functies.
•Druk op ` om terug te keren naar het normale scherm van de
rekenmachine.
Snelle 3D-grafieken
Snelle 3D-grafieken worden gebruikt om driedimensionale vlakken te
visualiseren die worden weergegeven door vergelijkingen van de vorm z =
f(x,y). Als u bijvoorbeeld z = f(x,y) = x
2
+y
2
wilt visualiseren, kunnen we het
volgende gebruiken:
•Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om het
PLOT SETUP-scherm te openen.
• Verander TYPE in Fast3D. ( @CHOOS!, zoek Fast3D, @@OK@@).
•Druk op ˜ en voer ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ in.
• Zorg ervoor dat ‘X’ is geselecteerd als Indep:
en ‘Y’ als Depnd:
variabelen.
•Druk op L@@@OK@@@ om naar het normale scherm van de rekenmachine
terug te keren.
•Druk op „ò, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om het
PLOT WINDOW scherm te openen.
• Laat de standaardbereiken van het plotscherm als volgt weergeven:
Blz. 10-6
•Druk op @ERASE @DRAW om het driedimensionale vlak te tekenen. Het
resultaat is een ijzerdraadweergave van het vlak met het referentie-
coördinatenstelsel linksonder in het scherm. Met behulp van de
pijltjestoetsen (š™—˜) kunt u de richting van het vlak
veranderen. De richting van het referentie-coördinatenstelsel zal
dienovereenkomstig veranderen. Probeer zelf de richting van het vlak te
veranderen. De volgende afbeeldingen tonen enkele weergaven van de
grafiek:
•Druk op @EXIT wanneer u klaar bent.
•Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving.
• Verander de Stepgegevens als volgt: Step Indep: 20 Depnd:
16
•Druk op @ERASE @DRAW om de grafiek van het vlak te zien.
Voorbeeldweergaven:
X-Left:-1 X-Right:1
Y-Near:-1 Y-Far: 1
Z-Low: -1 Z-High: 1
Step Indep: 10 Depnd: 8
N.B.: de Step Indep: en Depnd: waarden geven het aantal
stippellijnen weer dat in de grafiek gebruikt dienen te worden. Hoe
hoger het aantal, hoe langer het duurt om de grafiek te maken, ook
al is de benodigde tijd voor het genereren van een grafiek relatief
kort. Nu zullen we de standaardwaarden van 10 en 8 voor de
Stepgegevens laten staan.
Blz. 10-7
•Druk op @EXIT wanneer u klaar bent.
•Druk op @CANCL om terug te keren naar het PLOT WINDOW.
•Druk op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale scherm van de
rekenmachine terug te keren.
Probeer ook een Snelle 3D-grafiek voor het vlak z = f(x,y) = sin (x
2
+y
2
)
•Druk op „ô, tegelijkertijd indrukken in de RPN-modus, om het
PLOT SETUP scherm te openen.
•Druk op ˜ en voer ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@ in.
•Druk op @ERASE @DRAW om de hellingvlakgrafiek te tekenen. Druk op @EXIT
@EDIT L@)LABEL @MENU zodat de grafiek niet meer belemmerd wordt
door het menu en identificerende labels te zien zijn.
•Druk op LL@)PICT om de EDIT-omgeving te verlaten.
•Druk op @CANCL om terug te keren naar de PLOT WINDOW-omgeving.
Druk vervolgens op $ of L@@@OK@@@ om naar het normale scherm van
de rekenmachine terug te keren.
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 12 en 22 in de gebruikshandleiding van de
rekenmachine voor meer informatie over grafieken.
Blz. 11-1
Hoofdstuk 11
Calculustoepassingen
In dit hoofdstuk bespreken we toepassingen van de functies van de
rekenmachine op bewerkingen met betrekking tot Calculus, bijvoorbeeld
limieten, afgeleiden, integralen, machtreeksen, enz.
Het menu CALC (Calculus)
Veel van de functies in dit hoofdstuk bevinden zich in het CALC-menu van
de rekenmachine dat toegankelijk is met de toetsencombinatie „Ö
(verbonden met toets 4):
De eerste vier opties in dit menu zijn eigenlijk submenu’s die van
toepassing zijn op (1) afgeleiden en integralen, (2) limieten en
krachtreeksen, (3) differentiaalvergelijkingen en (4) grafieken. De functies
onder (1) en (2) zullen worden behandeld in dit hoofdstuk. De functies
DERVX en INTVX worden uitvoerig besproken op respectievelijk pagina
11-3.
Limieten en afgeleiden
Differentiaal calculus behandelt afgeleiden of veranderingsgraden van
functies en hun toepassingen in wiskundige analyses. De afgeleide van
een functie wordt gedefinieerd als een limiet van het verschil van een
functie wanneer de toename in de onafhankelijke variabele nul benadert.
Limieten worden gebruikt om de continuïteit van functies te controleren.
De functie Lim
De rekenmachine biedt de functie lim om limieten van functies te
berekenen. Deze functie gebruikt als invoer een uitdrukking die een functie
weergeeft en de waarde waarvan de limiet moet worden berekend. De
functie lim is beschikbaar via de commandocatalogus
(‚N~„l) of via optie 2 LIMITS & SERIES… van het CALC-
menu (zie boven).
Blz. 11-2
De functie lim wordt in de ALG-modus ingevoerd als lim(f(x),x=a)
om de limiet te berekenen. In de RPN-modus voert u eerst de
functie in, dan de uitdrukking ‘x=a’ en tenslotte de functie lim. Voorbeelden
in de ALG-modus worden hieronder weergegeven, met inbegrip van
enkele limieten naar oneindigheid en eenzijdige limieten. Het
oneindigheidssymbool is verbonden aan de 0-toets, bijv., „è.
Om een eenzijdige limiet te bepalen, dient men +0 of -0 bij te voegen aan
de waarde van de variabele. Een “+0” betekent een rechter limiet, terwijl
een “-0” een linker limiet betekent. De limiet van wanneer x
bijvoorbeeld langs onder 1 benadert, kan bepaald worden met de
volgende toetsenaanslagen (ALG modus):
‚N~„l˜$OK$R!ÜX-
1™@íX@Å1+0`
Het resultaat is als volgt:
)(lim xf
ax→
1−x
Blz. 11-3
De Functies DERIV en DERVX
De functie DERIV wordt gebruikt om afgeleiden met betrekking tot een
onafhankelijke variabele te nemen en de functie DERVX neemt afgeleiden
met betrekking tot de standaardvariabele VX (meestal ‘X’). De DERVX-
functie is direct via het CALC-menu beschikbaar en beide functies zijn
beschikbaar onder het submenu DERIV.&INTEG in het CALC-menu (
„Ö).
De functie DERIV vereist een functie, bijv. f(t) en een onafhankelijke
variabele, bijv. t. De functie DERVX vereist enkel een functie van VX.
Voorbeelden in de ALG-modus worden hieronder weergegeven. Vergeet
niet dat in de RPN-modus de argumenten vóór de functie moeten worden
ingevoerd.
(typ functienaam om deze te activeren)
Anti-afgeleiden en integralen
Een anti-afgeleide van een functie f(x) is een functie F(x) zodat f(x) = dF/
dx. Een manier om een anti-afgeleide weer te geven, is als een
ongedefinieerde integraal
, d.w.z.:
alleen, en alleen als f(x) = dF/dx, en C = constant.
De functies INT, INTVX, RISCH, SIGMA en SIGMAVX
De rekenmachine biedt de functies INT, INTVX, RISCH, SIGMA en
SIGMAVX om anti-afgeleiden van functies te berekenen. De functies INT,
RISCH en SIGMA werken met functies van willekeurige variabelen. De
functies INTVX en SIGMAVX gebruiken functies van de CAS-variabele VX
(meestal ‘x’). De functies INT en RISCH vereisen derhalve niet alleen dat de
uitdrukking voor de functie geïntegreerd is, maar ook de naam van de
onafhankelijke variabele. De functie INT vereist bovendien een waarde
van x waar de waarde van de anti-afgeleide wordt bepaald. De functies
INTVX en SIGMAVX vereisen alleen dat de uitdrukking van de functie
CxFdxxf +=
∫
)()(
Blz. 11-4
integreert m.b.t. VX. De functies INTVX, RISCH, SIGMA en SIGMAVX zijn
beschikbaar in het CALC/DERIV&INTEG-menu, INT is beschikbaar in de
commandocatalogus. Hieronder worden enkele voorbeelden in ALG-
modus getoond: Enkele voorbeelden in de ALG-modus worden hieronder
weergegeven (voer de functienamen in om ze te activeren):
Let op: de functies SIGMAVX en SIGMA zijn ontworpen voor integranden
met een zekere integraalfunctie zoals de factor(!)-functie hierboven. Het
resultaat is een zogenaamde discreetafgeleide, d.w.z. een die alleen voor
hele getallen is gedefinieerd.
Eindige integralen
In een eindige integraal van een functie wordt de waarde van de
resulterende primitieve geëvalueerd bij de boven- en benedenlimiet van
een interval (a,b) en de geëvalueerde waarden afgetrokken. Symbolisch
waarbij f(x) = dF/dx.
De functie PREVAL(f(x),a,b) van het CAS kan deze berekening
vergemakkelijken door f(b)-f(a) te geven met x als de CAS-variabele VX.
),()()( aFbFdxxf
b
a
−=
∫
Blz. 11-5
Oneindige series
Een functie f(x) kan worden uitgebreid tot een oneindige reeks rond punt
x=x
0
d.m.v. een Taylor-reeks, namelijk:
,
waarbij f
(n)
(x) de n-th afgeleide van f(x) weergeeft met betrekking tot x,
f
(0)
(x) = f(x).
Bij een waarde x
0
= 0 wordt de reeks een Maclaurin-reeks genoemd.
De Functies TAYLR, TAYLR0, en SERIES
De functies TAYLR, TAYLR0 en SERIES worden gebruikt om Taylor-
polynomen en Taylor-reeksen met resttermen te genereren. Deze functies
zijn beschikbaar in het menu CALC/LIMITS&SERIES dat eerder in dit
hoofdstuk is beschreven.
De functie TAYLOR0 voert een uitbreiding uit van een Maclaurin-reeks,
d.w.z. rond X = 0 van een uitdrukking in de standaard onafhankelijke
variabele VX (meestal ‘X’). De uitbreiding gebruikt een 4
e
orde relatieve
macht, d.w.z. het verschil tussen de hoogste en de laagste macht in de
uitbreiding is 4. Bijvoorbeeld:
De functie TAYLR voert uitbreiding uit van een Taylor-reeks van een functie
van een willekeurige variabele x rond een punt x = a voor de orde k die is
gespecificeerd door de gebruiker. De functie heeft dus de vorm TAYLR(f(x-
a),x,k). Bijvoorbeeld:
∑
∞
=
−⋅=
0
)(
)(
!
)(
)(
n
n
o
o
n
xx
n
xf
xf
Blz. 11-6
De functie SERIES geeft een Taylor-polynoom die als argumenten gebruikt
de te ontwikkelen functie f(x), een enkele variabelenaam (voor Maclaurin-
reeks) of een uitdrukking in de vorm ‘variabele = waarde’ die het punt van
uitbreiding van een Taylor-reeks aangeeft en de volgorde van de aan te
maken reeks. De functie SERIES geeft twee uitvoeritems: een lijst met vier
items en een uitdrukking voor h = x – a, als het tweede argument in de
functieoproep ‘x=a’ is, d.w.z. een uitdrukking voor de stapgrootte h. De
lijst die als eerste uitvoer wordt gegeven bevat de volgende items:
1. Bi-directionele limiet van de functie op het uitbreidingspunt:
2. Equivalente waarde van de functie die x = a benadert.
3. Uitdrukking voor de Taylor-polynoom
4. Volgorde van de resttermen of de rest
Vanwege de relatief hoge uitvoer is deze functie makkelijker te hanteren in
de RPN-modus. De onderstaande schermweergaven bijvoorbeeld tonen
het RPN-stapelgeheugen voor en na het gebruik van de TAYLR –functie,
zoals hierboven werd beschreven:
De opeenvolgende toetsaanslagen die dit specifieke voorbeeld genereren,
zijn:
~!s`!ì2/-
S~!s`6!Ö˜$OK$ ˜˜˜˜$OK$
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 13 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer definities en toepassingen van calculusbewerkingen.
)(lim xf
ax→
Blz. 12-1
Hoofdstuk 12
Multivariant Calculustoepassingen
Met Multivariant calculus worden functies van twee of meer variabelen
bedoeld. In dit hoofdstuk bespreken we de basisconcepten van
multivariant-calculus: partiële afgeleiden en meervoudige integralen.
Partiële afgeleiden
Gebruik de regels voor gewone afgeleiden met betrekking tot de
betreffende variabele om snel partiële afgeleiden van multivariant functies
te berekenen. Beschouw daarbij alle andere variabelen als constant.
Bijvoorbeeld:
,
U kunt de afgeleidenfuncties in de rekenmachine gebruiken: DERVX,
DERIV,
∂, uitvoerig beschreven in hoofdstuk 11 in deze handleiding, om
partiële afgeleiden te berekenen (DERVX gebruikt de CAS-
standaardvariabele VX (meestal ‘X’). Enkele voorbeelden van partiële
vergelijkingen van de eerste orde worden hieronder weergegeven. De
functies die gebruikt worden in de eerste twee voorbeelden zijn f(x,y) = x
cos(y) en g(x,y,z) = (x
2
+y
2
)
1/2
sin(z).
Om de functies f(x,y) en g(x,y,z), in ALG-modus te definiëren, gebruikt u:
DEF(f(x,y)=x*COS(y)) ` DEF(g(x,y,z)=
√(x^2+y^2)*SIN(z)`
() ()
)sin()cos(),cos()cos( yxyx
y
yyx
x
−=
∂
∂
=
∂
∂
Blz. 12-2
Gebruik ‚ ¿ om het afgeleidesymbool te typen. De afgeleide
, bijvoorbeeld, wordt in ALG-modus op het scherm
ingevoerd als
∂x(f(x,y)) `.
Meervoudige integralen
Een fysieke interpretatie van de dubbele integraal van een functie f(x,y)
over een gebied R op het x-y-vlak is het volume van het massieve lichaam
onder het oppervlak f(x,y) boven het gebied R. Het gebied R kan worden
beschreven als R = {a<x<b, f(x)<y<g(x)} of als R = {c<y<d, r(y)<x<s(y)}.
De dubbele integraal kan dus worden geschreven als
Een dubbele integraal berekenen in de rekenmachine is eenvoudig. Een
dubbele integraal kan worden gebouwd in de Vergelijkingenschrijver (zie
het voorbeeld in Hoofdstuk 2 in de gebruikshandleiding) zoals hieronder
weergegeven. Deze dubbele integraal wordt direct in de
Vergelijkingenschrijver berekend door de hele uitdrukking te selecteren en
vervolgens de functie EVAL te gebruiken. Het resultaat is 3/2
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 14 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over multivariante calculus bewerkingen en hun
toepassingen.
)),(( yxf
x∂
∂
∫∫∫∫∫∫
==
d
c
ys
yr
b
a
xg
xf
R
dydxyxdydxyxdAyx
)(
)(
)(
)(
),(),(),(
φφφ
Blz. 13-1
Hoofdstuk 13
Toepassingen van vectoranalyse
Dit hoofdstuk beschrijft het gebruik van de functies HESS, DIV en CURL
voor berekeningen van vectoranalyses.
De del-operator
De volgende operator, de ‘del’ of ‘nabla’-operator genoemd, is een
operator op vectorbasis die kan worden toegepast op een scalaire of een
vectorfunctie:
Wanneer toegepast op een scalaire functie kunnen we de gradiënt van de
functie verkrijgen en wanneer toegepast op een vectorfunctie kunnen we
de divergentie en de rotatie van die functie verkrijgen. Een combinatie van
gradiënt en divergentie geeft de Laplace-operator van een scalaire functie.
Gradiënt
De gradiënt van een scalaire functie φ(x,y,z) is een vectorfunctie
gedefinieerd als
. De functie HESS kan worden gebruikt om
de gradiënt van een functie te verkrijgen. Als invoer neemt de functie een
functie van n onafhankelijke variabelen
φ(x
1
, x
2
, …,x
n
), en een vector van
de functies [‘x
1
’ ‘x
2
’…’x
n
’]. De functie geeft de Hessian-matrix van de
functie H = [h
ij
] = [∂φ/∂x
i
∂x
j
], de gradiënt van de functie met betrekking
tot de n-variabelen, grad f = [
∂φ/∂x
1
∂φ/∂x
2
… ∂φ/∂x
n
] en de lijst van
variabelen [‘x
1
’, ‘x
2
’,…,’x
n
’]. Deze functie kan gemakkelijker bekeken
worden in de RPN-modus. Gebruik als voorbeeld de functie
φ(X,Y,Z) = X
2
+ XY + XZ. We zullen de functie HESS toepassen op dit scalaire veld in het
volgende voorbeeld:
[] [] [] []
z
k
y
j
x
i
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=∇
φφ
∇=grad
Blz. 13-2
De gradiënt is dus [2X+Y+Z, X, X].
Gebruik als alternatief de functie DERIV als volgt:
Divergentie
De divergentie van een vectorfunctie F(x,y,z) = f(x,y,z)i +g(x,y,z)j
+h(x,y,z)k, wordt gedefinieerd door het scalair product te nemen van de
del-operator met de functie, d.w.z.,
. De functie DIV kan
worden gebruikt om de divergentie van een vectorveld te berekenen. Voor
F(X,Y,Z) = [XY,X
2
+Y
2
+Z
2
,YZ] bijvoorbeeld wordt de divergentie als volgt
berekend in de ALG-modus: DIV([X*Y,X^2+Y^2+Z^2,Y*Z],[X,Y,Z])
Rotatie
De rotatie van een vectorveld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k wordt
gedefinieerd als een vectorieel product van de del-operator met het
vectorveld, d.w.z. . De rotatie van een vectorveld kan
worden berekend met de functie CURL. Voor de functie F(X,Y,Z) =
[XY,X
2
+Y
2
+Z
2
,YZ] bijvoorbeeld wordt de rotatie als volgt berekend:
CURL([X*Y,X^2+Y^2+Z^2,Y*Z],[X,Y,Z])
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 15 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over vectoranalyse.
FdivF •∇=
FF ×∇=curl
Blz. 14-1
Hoofdstuk 14
Differentiaalvergelijkingen
In dit hoofdstuk laten we voorbeelden zien van oplossingen voor gewone
differentiaalvergelijkingen (ODE) met de functies van de rekenmachine.
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die betrekking heeft op
afgeleiden van de onafhankelijke variabele. In de meeste gevallen zoeken
we de afhankelijke functie die aan de differentiaalvergelijking voldoet.
Het menu CALC/DIFF
Het submenu DIFFERENTIAL EQNS in het menu CALC („Ö) biedt
functies voor de oplossing van differentiaalvergelijkingen. Het menu staat
hieronder weergegeven met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE-
boxes:
Deze functies worden hieronder kort beschreven. Ze worden verderop in
dit hoofdstuk uitvoerig behandeld.
Oplossing voor lineaire en niet-lineaire
vergelijkingen
Een vergelijking waarin de afhankelijke variabele en alle bijbehorende
afgeleiden van de eerste graad zijn, wordt een lineaire
differentiaalvergelijking genoemd. In andere gevallen is de vergelijking
niet-lineair
.
DESOLVE:
Differentiaalvergelijking SOLVEr: lost, indien mogelijk,
differentiaalvergelijkingen op
ILAP:
Inverse LAPlace transformatie, L
-1
[F(s)] = f(t)
LAP: LAP: LAPlace transformatie, L[f(t)]=F(s)
LDEC: Lineair Differentiaalvergelijking Commando
Blz. 14-2
De functie LDEC
De rekenmachine biedt de functie LDEC (Lineair Differentiaalvergelijking
Commando) om de algemene oplossing te vinden voor een lineaire ODE
in welke orde dan ook met constante coëfficiënten, ongeacht deze
homogeen is of niet. Deze functie vraagt twee invoergegevens van u:
•de rechterzijde van de ODE
• de karakteristieke vergelijking van de ODE
Beide invoergegevens dienen ingevoerd te worden op basis van de
onafhankelijke standaardvariabele voor het CAS van de rekenmachine
(meestal X). De uitvoer van de functie is de algemene oplossing van de
ODE. De voorbeelden hieronder worden weergegeven in de RPN-modus:
Voorbeeld 1
– De homogene ODE oplossen
d
3
y/dx
3
-4⋅(d
2
y/dx
2
)-11⋅(dy/dx)+30⋅y = 0.
Voer in:
0 ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDEC µ
De oplossing is (afbeelding samengesteld uit beeldweergaven
vergelijkingenschrijver):
waarbij cC0, cC1 en cC2 integratieconstanten zijn. Het resultaat is
equivalent aan
y = K
1
⋅e
–3x
+ K
2
⋅e
5x
+ K
3
⋅e
2x
.
Voorbeeld 2
– Het gebruik van de functie LDEC, om niet-homogene ODE’s
op te lossen:
d
3
y/dx
3
-4⋅(d
2
y/dx
2
)-11⋅(dy/dx)+30⋅y = x
2
.
Voer in:
'X^2' ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDECµ
De oplossing is:
dat kan worden vereenvoudigd tot
y = K
1
⋅e
–3x
+ K
2
⋅e
5x
+ K
3
⋅e
2x
+ (450⋅x
2
+330⋅x+241)/13500.
Blz. 14-3
De functie DESOLVE
De rekenmachine geeft de functie DESOLVE (Differentiaalvergelijking
SOLVEr) om bepaalde soorten differentiaalvergelijkingen op te lossen. De
functie vereist als invoer de differentiaalvergelijking en de onbekende
functie en geeft indien beschikbaar de oplossing voor de vergelijking. U
kunt ook een vector met daarin de differentiaalvergelijking en de
beginvoorwaarden als invoer voor DESOLVE geven in plaats van alleen
een differentiaalvergelijking. De functie DESOLVE is beschikbaar in het
menu CALC/DIFF. Voorbeelden van DESOLVE-toepassingen worden
hieronder weergegeven in de RPN-modus.
Voorbeeld 1
–de volgende eerste orde ODE oplossen:
dy/dx + x
2
⋅y(x) = 5.
Gebruik in de rekenmachine:
'd1y(x)+x^2*y(x)=5' ` 'y(x)' ` DESOLVE
De gegeven oplossing is
{‘y(x) = (5*INT(EXP(xt^3/3),xt,x)+cC0)*1/EXP(x^3/3))’ }, die
vereenvoudigd kan worden tot
De variabele ODETYPE
Op de labels van de sofmenutoetsen zult u een nieuw variabele genaamd
@ODETY (ODETYPE) vinden. Deze variabele is aangemaakt met het
oproepen van de functie DESOL en bevat een string die het soort ODE
toont dat gebruikt wordt als invoer voor DESOLVE. Druk op @ODETY om de
volgende string te krijgen: “
1st order linear”.
Voorbeeld 2
– Een vergelijking met beginvoorwaarden oplossen:
d
2
y/dt
2
+ 5y = 2 cos(t/2)
met de beginvoorwaarden
y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5.
Gebruik in de rekenmachine:
[‘d1d1y(t)+5*y(t) = 2*COS(t/2)’ ‘y(0) = 6/5’ ‘d1y(0) = -1/2’]
‘y(t)’ `
DESOLVE
Let op: de beginvoorwaarden zijn veranderd in Exacte uitdrukkingen:
‘y(0) = 6/5’ i.p.v. ‘y(0)=1.2’ en ‘d1y(0) = -1/2’ i.p.v. ‘d1y(0) = -0.5’. Door
()
.)3/exp()3/exp(5)(
0
33
Cdxxxxy +⋅⋅−⋅=
∫
Blz. 14-4
de uitdrukking naar deze Exacte uitdrukking om te zetten, wordt de
oplossing makkelijker.
Druk op µµ om het resultaat te vereenvoudigen. Gebruik ˜EDIT
om deze oplossing te verkrijgen:
d.w.z.
‘y(t) = -((19*
√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’.
Druk op ``J @ODETY om de string “
Linear w/ cst coeff” te krijgen
voor het ODE-type voor dit voorbeeld.
Laplace-transformaties
De Laplace-transformatie van een functie f(t) geeft een functie F(s) in het
imagodomein die gebruikt kan worden om de oplossing te vinden van een
lineaire differentiaalvergelijking met betrekking tot f(t) middels
algebraïsche methodes. Deze toepassing bestaat uit drie stappen:
1. Gebruik van de Laplace-transformatie converteert de lineaire ODE
m.b.t. f(t) in een algebraïsche vergelijking.
2. De onbekende F(s) wordt opgelost in het imagodomein door
algebraïsche manipulatie.
3. Een inverse Laplace-transformatie wordt gebruikt om de imagofunctie
die werd gevonden in stap 2 te converteren naar de oplossing voor de
differentiaalvergelijking f(t).
Laplace-transformaties en inversies in de
rekenmachine
De rekenmachine biedt de functies LAP en ILAP om respectievelijk de
Laplace-transformatie en de inverse Laplace-transformatie te berekenen,
van een functie f(VX), waarin VX de standaard CAS onafhankelijke
variabele is (meestal X). De rekenmachine geeft de transformatie of de
inverse transformatie als een functie van X. De functies LAP en ILAP zijn
beschikbaar onder het menu CALC/DIFF. De voorbeelden zijn in de RPN-
modus uitgewerkt. Het omzetten naar de ALG-modus is eenvoudig.
N.B.: gebruik de functie Q (zie hoofdstuk 5) om fractie
uitdrukkingen te krijgen voor decimale waarden.
Blz. 14-5
Voorbeeld 1 – U kunt als volgt de definitie van de Laplace-transformatie
verkrijgen: ‘f(X)’ ` LAP in de RPN-modus of LAP(F(X))in de
ALG-modus. De rekenmachine geeft als resultaat (RPN links; ALG rechts):
Vergelijk deze uitdrukkingen met de uitdrukking die eerder is gegeven in
de definitie van de Laplace-transformatie:
en u ziet dat de standaard CAS-variabele X op het scherm van de
vergelijkingenschrijver de variabele s vervangt in deze definitie. Wanneer
u dus de functie LAP gebruikt, krijgt u een functie van X die de Laplace-
transformatie is van f(X).
Voorbeeld 2
– Bepaal de inverse Laplace-transformatie van F(s) =sin(s).
Gebruik:
‘1/(X+1)^2’ ` ILAP
De rekenmachine geeft het volgende resultaat: 'X
⋅e
-X
', hetgeen betekent
dat L
-1
{1/(s+1)
2
} = x⋅e
-x
.
Fourier-reeksen
Een complexe Fourier-reeks wordt gedefinieerd in de volgende uitdrukking
waarbij
De functie FOURIER
De functie Fourier geeft de coëfficiënt c
n
van de complexe vorm van de
Fourier-reeks waarbij de functie f(t) en de waarde van n is gegeven. De
functie FOURIER vereist dat u voordat u de functie oproept de waarde van
0
L{ ( )} ( ) ( ) ,
st
ft Fs ft e dt
∞
−
== ⋅
∫
∑
+∞
−∞=
⋅=
n
n
T
tin
ctf ),
2
exp()(
π
∫
∞−−−∞=⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅=
T
n
ndtt
T
ni
tf
T
c
0
.,...2,1,0,1,2,...,,)
2
exp()(
1
π
Blz. 14-6
de periode (T) van een T-periodieke functie opslaat in de CAS-variabele
PERIOD. De functie FOURIER is beschikbaar in het submenu DERIV in het
menu CALC („Ö).
Fourier-reeks voor een kwadratische functie
Bepaal de coëfficiënten c
0
, c
1
en c
2
voor de functie g(t) = (t-1)
2
+(t-1) met
periode T = 2.
Met de rekenmachine in de ALG-modus definiëren we eerst de functies f(t)
and g(t):
Vervolgens gaan we naar de CASDIR-subdirectory onder HOME om de
waarde van de PERIOD-variabele te veranderen:
„ (vasthouden) §`J @)CASDI `2K @PERIOD `
Ga terug naar de subdirectory waar u de functies f en g heeft gedefinieerd
en bereken de coëfficiënten. Stel CAS in op de Complex-modus (zie
hoofdstuk 2) alvorens deze oefeningen uit te proberen. De functie
COLLECT is beschikbaar in het menu ALG (‚×).
Blz. 14-7
Dus c
0
= 1/3, c
1
= (π⋅i+2)/π
2
, c
2
= (π⋅i+1)/(2π
2
).
De Fourier-reeks met drie elementen wordt als volgt geschreven:
g(t)
≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π
2
⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π
2
)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)].
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 16 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer definities, toepassingen en oefeningen met betrekking tot het
oplossen van differentiaalvergelijkingen d.m.v. Laplace-transformaties,
Fourier-reeksen en -transformaties alsmede numerieke en grafische
methodes.
Blz. 15-1
Hoofdstuk 15
Kansverdelingen
In dit Hoofdstuk laten we voorbeelden zien van toepassingen van de
voorgedefinieerde kansverdelingen in de rekenmachine.
Het submenu MTH/PROBABILITY..– deel 1
Het submenu MTH/PROBABILITY.. is toegankelijk met de
toetsencombinatie „´. Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE-
boxes zijn de volgende functies beschikbaar in het menu PROBABILITY..:
In dit Hoofdstuk behandelen we de functies COMB, PERM, ! (faculteit) en
RAND.
Faculteiten, combinaties en permutaties
De faculteit van een integere n wordt gedefinieerd als: n! = n⋅ (n-1) ⋅ (n-
2)…3
⋅2⋅1. Per definitie 0! = 1.
Faculteiten worden gebruikt in de berekening van het aantal permutaties
en combinaties van objecten. Het aantal permutaties van r objecten van
een set van n onderscheiden objecten is bijvoorbeeld:
Het aantal combinaties van n objecten op een r gegeven moment is
We kunnen combinaties, permutaties en faculteiten berekenen met de
functies COMB, PERM en ! van het submenu MTH/PROBABILITY... De
werking van deze functies wordt hieronder beschreven:
• COMB(n,r): berekent het aantal combinaties van n n items op een r
gegeven moment.
)!/(!)1)...(1)(1( rnnrnnnn
rn
P −=+−−−=
)!(!
!
!
)1)...(2)(1(
rnr
n
r
rnnnn
r
n
−
=
+−−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Blz. 15-2
• PERM(n,r): berekent het aantal permutaties van n n items op een r
gegeven moment.
• n!: Faculteit van een positief heel getal. Voor niet-hele getallen geeft x!
Γ(x+1) waarbij Γ(x) de Gammafunctie is (zie Hoofdstuk 3). Het
faculteitsymbool (!) kan tevens worden ingevoerd als de volgende
toetsencombinatie ~‚2.
Een voorbeeld van toepassingen van deze functies worden hieronder
weergegeven:
Willekeurige getallen
De rekenmachine verschaft een generator voor willekeurige getallen die
een uniform verspreid willekeurig getal tussen 0 en 1 geeft. Gebruik de
functie RAND van het submenu MTH/PROBABILITY om een willekeurig
getal te genereren. Het volgende scherm geeft een aantal willekeurige
getallen weer die zijn aangemaakt met RAND. (N.B.: de willekeurige
getallen in uw rekenmachine zullen hiervan afwijken.)
Raadpleeg Hoofdstuk 17 in de gebruikshandleiding voor meer informatie
over willekeurige getallen in de rekenmachine. In Hoofdstuk 17 van de
gebruikshandleiding wordt met name het gebruik van de functie RDZ om
lijsten van willekeurige getallen opnieuw te activeren uitvoerig behandeld.
Het menu MTH/PROBABILITY.. – deel 2
In dit gedeelte behandelen we vier doorlopende kansverdelingen die
gewoonlijk gebruikt worden voor problemen m.b.t. statistische deductie:
de normale verdeling, de Student t-verdeling, de Chi-kwadraat-verdeling
(χ
2
) en de F-verdeling. De functies in de rekenmachine om kansen te
evalueren voor deze verdelingen zijn NDIST, UTPN, UTPT, UTPC en UTPF.
Blz. 15-3
Deze functies bevinden zich in het menu MTH/PROBABILITY dat we eerder
in dit Hoofdstuk behandeld hebben. Open het menu MTH voor deze
functies: „´ en selecteer de optie PROBABILITY:
De normale verdeling
De functies NDIST en UTPN hebben betrekking op de Normale verdeling
met gemiddelde µ en variantie σ
2
.
Gebruik de functie NDIST(µ,σ
2
,x) om de waarde van de
kansdichtheidsfunctie (pdf) van de f(x) voor de normale verdeling te
berekenen. Controleer bijvoorbeeld dat voor een normale verdeling
NDIST(1.0, 0.5, 2.0) = 0.20755374. Deze functie is handig om de
Normale verdeling (pdf) te plotten.
De rekenmachine biedt ook de functie UTPN die het bovenste deel van de
normale verdeling berekent, d.w.z. UTPN(µ,σ2, x) = P(X>x) = 1 - P(X<x),
waarbij P() een kans vertegenwoordigt. Controleer bijvoorbeeld dat voor
een normale verdeling met NDIST µ = 1.0, σ
2
= 0.5, UTPN(1.0, 0.5,
0.75) = 0.638163.
De Student-t-verdeling
De student–t, of simpelweg, de t-verdeling heeft een parameter ν, bekend
als de graad van vrijheid van de verdeling. De rekenmachine voorziet in
waarden van het bovenste deel (cumulatief) van de verdelingsfunctie voor
de t-verdeling met de functie UTPT, waarbij de parameter ν en de waarde
van t zijn gegeven: UTPT(ν,t) = P(T>t) = 1-P(T<t). Bijvoorbeeld: UTPT(5,
2.5) = 2,7245…E-2.
De Chi-kwadraat verdeling
De Chi-kwadraat (χ
2
)-verdeling heeft een parameter ν, bekend als de
graad van vrijheid. De rekenmachine voorziet in waarden van het
bovenste deel (cumulatief) van de verdelingsfunctie voor de χ
2
-verdeling
met [UTPC] waarbij de waarde van x en de parameter ν zijn gegeven. De
Blz. 15-4
definitie van deze functie is dus UTPC(ν,x) = P(X>x) = 1 - P(X<x).
Bijvoorbeeld UTPC(5, 2.5) = 0.776495
De F-verdeling
De F-verdeling heeft twee parameters νN = graad van vrijheid van de
teller en νD = graad van vrijheid van de noemer. De rekenmachine
voorziet in waarden van het bovenste deel (cumulatief) van de
verdelingsfunctie voor de F-verdeling met de functie UTPF waarbij de
parameters νN and νD en de waarde van F zijn gegeven. De definitie van
deze functie is dus UTPF(νN,νD,F) = P(ℑ >F) = 1 - P(ℑ <F). Bijvoorbeeld:
UTPF (10, 5, 2.5) = 0.1618347…
Referentie
Raadpleeg Hoofdstuk 17 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer kansverdelingen en kanstoepassingen.
Blz. 16-1
Hoofdstuk 16
Statistische Toepassingen
De rekenmachine geeft de volgende voorgeprogrammeerde statistische
functies weer met de toetsencombinatie ‚Ù (de toets 5) :
Gegevens invoeren
Toepassingen genummerd 1, 2 en 4 uit de hierboven vermelde lijst
vereisen dat de gegevens beschikbaar zijn als kolommen van de matrix
ΣDAT. Dit kan onder andere bereikt worden door de gegevens in te voeren
in kolommen met de Matrixschrijver, „², en vervolgens de functie
STOΣ te gebruiken om de matrix op te slaan in ΣDAT.
Voer bijvoorbeeld de volgende gegevens in met de Matrixschrijver (zie
hoofdstuk 8 en 9 in deze handleiding) en sla de gegevens op in ΣDAT:
2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5.
Het beeldscherm kan als volgt worden weergegeven:
Let op: de variabele @£DAT is opgenomen in de lijst met softmenutoetsen.
Een eenvoudigere manier om statistische gegevens in te voeren, is het
starten van een statistische toepassing (zoals Single-var,
Frequencies of Summary stats, zie de eerste hierboven
weergegeven schermweergave) en druk #EDIT#. Dit start de Matrixschrijver.
Voer de gegevens in zoals hiervoor. In dit geval zullen de gegevens,
wanneer u de Matrixschrijver verlaat, automatisch opgeslagen worden in
ΣDAT.
Ch16_Statistische Toepassingen.fm Page 1 Sunday, March 26, 2006 1:17 PM
Blz. 16-2
Statistieken met één variabele berekenen
Druk op ‚Ù @@@OK@@ om 1. Single-var.. te selecteren na het invoeren van
de kolomvector in ΣDAT.
Het volgende invoerscherm verschijnt:
Het invoerscherm plaatst de gegevens in ΣDAT en laat zien dat kolom 1 is
geselecteerd (er is nu maar een kolom in ΣDAT). Beweeg door het scherm
met de pijltoetsen en druk op de -softmenutoets om de grootheden
(Mean, Standard Deviation, Variance, Total number of data points,
Maximum en Minimum values) te selecteren die u als uitvoer van dit
programma wenst. Druk op @@@OK@@@ wanneer u klaar bent. De geselecteerde
waarden worden met labels in een lijst geplaatst in het scherm van uw
rekenmachine Bijvoorbeeld:
Steekproef vs. populatie
De hierboven gebruikte voorgeprogrammeerde functies voor statistieken
met een enkele variabele kunnen worden toegepast op een beperkte
populatie door te kiezen voor het
type: Population in het scherm voor
STATISTIEKEN MET EEN ENKELE VARIABELE. Het belangrijkste verschil zit in
de waarden van de variantie en de standaarddeviatie die berekend
worden door gebruik te maken van n in de noemer van de variantie i.p.v.
(n-1). Gebruik nu de @CHOOS-softmenutoets om de populatie als type te
kiezen voor het bovenstaande voorbeeld en om de grootheden opnieuw te
berekenen:
Blz. 16-3
Frequentieverdelingen verkrijgen
De toepassing 2. Frequencies.. in het menu STAT kan gebruikt worden om
frequentieverdelingen te verkrijgen voor een stel gegevens. De gegevens
moeten aanwezig zijn in de vorm van een kolomvector die is opgeslagen
in de variabele ΣDAT. Druk op ‚Ù˜@@@OK@@@ om te beginnen. Het
invoerscherm dat verschijnt, bevat de volgende velden:
Met een gegeven set van n gegevenswaarden: {x
1
, x
2
, …, x
n
} in een
willekeurige volgorde, kunt u de gegevens rangschikken in een aantal
klassen
of categorieën door de frequentie of het aantal waarden te tellen
dat correspondeert met iedere klasse. De toepassing
2. Frequencies.. in
het menu STAT verricht deze frequentietellingen en volgt de waarden die
onder de minimum- en boven de maximumklassegrenzen liggen (d.w.z. de
uitbijters).
Genereer als voorbeeld een relatief grote set gegevens, bijvoorbeeld 200
punten, met het commando RANM({200,1}) en sla het resultaat op in de
ΣDAT: de matrix die de betreffende gegevens bevat.
Col: de kolom van ΣDAT die wordt onderzocht.
X-Min: de minimum klassegrens die gebruikt dient te worden in
de frequentieverdeling (standaard = -6.5)
Bin Count: het aantal klassen in de frequentieverdeling
(standaard = 13)
Bin Width: de uniforme breedte van iedere klasse in de
frequentieverdeling (standaard = 1).
Blz. 16-4
variabele ΣDAT met de functie STOΣ (zie het bovenstaande voorbeeld).
Verkrijg vervolgens informatie over de enkele variabele met: ‚Ù
@@@OK@@@. Het resultaat is:
Deze informatie geeft aan dat onze gegevens een bereik hebben van –9
tot 9. Om een frequentieverdeling te maken, gebruiken we het interval (-
8,8) die we verdelen in 8 categorieën van ieder 2 breed.
• Selecteer het programma
2. Frequencies.. met ‚Ù˜@@@OK@@@. De
gegevens zijn al geladen in ΣDAT en de optie Col zou de waarde 1
moeten bevatten aangezien we maar een kolom hebben in ΣDAT.
• Verander X-Min in -8, Bin Count in 8 en Bin Width in 2. Druk
vervolgens op @@@OK@@@.
In de RPN-modus worden de resultaten in het stapelgeheugen
weergegeven als een kolomvector op niveau 2 in het stapelgeheugen en
een rijvector van twee componenten op niveau 1 in het stapelgeheugen.
De vector op niveau 1 in het stapelgeheugen is het aantal uitbijters buiten
het bereik van de frequentietelling. Voor dit geval krijg ik de waarden [
14. 8.], hetgeen betekent dat er in de ΣDAT-vector 14 waarden kleiner
zijn dan -8 en 8 groter dan 8.
•Druk op ƒ om de vector van uitbijters te verwijderen uit het
stapelgeheugen. Het resterende resultaat is de frequentietelling van de
gegevens.
De categorieën voor deze frequentieverdeling zullen zijn: -8 tot -6, -6 tot -
4, …, 4 tot 6 en 6 tot 8, dus 8 in totaal met de frequenties in de
kolomvector in het stapelgeheugen, namelijk (in dit geval):
23, 22, 22, 17, 26, 15, 20, 33.
Dit betekent dat er 23 waarden zijn in de categorie [-8,-6], 22 in [-6,-4],
22 in [-4,-2], 17 in [-2,0], 26 in [0,2], 15 in [2,4], 20 in [4,6] en 33 in
[6,8]. U kunt ook controleren dat als u al deze waarden plus de uitbijters,
14 en 8 zoals hierboven weergegeven, bij elkaar optelt u het totale aantal
elementen in de steekproef krijgt, namelijk 200.
Gegevens in een functie y = f(x) plaatsen
Het programma 3. Fit data.., als optie 3 beschikbaar in het menu STAT,
kan gebruikt worden om lineaire, logaritmische, exponentiële en
krachtfuncties in gegevenssets te plaatsen (x,y) die worden opgeslagen in
Blz. 16-5
kolommen van de ΣDAT matrix. Voor deze toepassing moet de ΣDAT-
variable tenminste twee kolommen bezitten.
Voorbeeld: een lineaire relatie plaatsen in de gegevens uit de tabel
hieronder:
• Voer eerst de twee kolommen gegevens in de ΣDAT-variabele met de
Matrixschrijver en functie STOΣ.
• Gebruik de volgende toetsencombinatie om het programma
3. Fit
data..
: te activeren: ‚Ù˜˜@@@OK@@@. Het invoerscherm geeft de
huidige ΣDAT weer die al geladen is. Verander indien nodig het setup-
scherm naar de volgende parameters voor een lineaire plaatsing:
•Druk op @@OK@@ om de gegevens te plaatsen. De uitvoer van dit
programma, hieronder weergegeven voor onze gegevensset, bestaat in
de RPN-modus uit de volgende drie regels:
3: '0.195238095238 + 2.00857242857*X'
2: Correlation: 0.983781424465
1: Covariance: 7.03
Niveau 3 toont het soort vergelijking. Niveau 2 toont de coëfficiënt van de
steekproefcorrelatie en niveau 1 toont de covariantie van x-y. Raadpleeg
hoofdstuk 18 in de gebruikshandleiding voor definities van deze
parameters.
Raadpleeg hoofdstuk 18 in de gebruikshandleiding voor meer informatie
over de mogelijkheid tot gegevensplaatsing van de rekenmachine.
xy
00.5
12.3
23.6
36.7
47.2
511
Blz. 16-6
Aanvullende samenvattende statistieken
verkrijgen
Toepassing 4. Summary stats.. in het menu STAT kan handig zijn bij
sommige berekeningen voor steekproefstatistieken. Druk nogmaals op
‚Ù om te beginnen. Ga naar de vierde optie met de pijltoets
omlaag ˜ en druk op @@@OK@@@. Het invoerscherm dat verschijnt, bevat de
volgende velden:
Veel van deze samenvattende statistieken worden gebruikt om statistieken
van twee variabelen (x,y) te berekenen die gerelateerd kunnen zijn aan
een functie y = f(x). Daarom kan dit programma opgevat worden als een
compagnon voor programma 3. Fit data..
Verkrijg bijvoorbeeld alle samenvattende statistieken voor de huidige x-y-
gegevens in ΣDAT.
•Gebruik om de summary stats… optie te activeren:
‚Ù˜˜˜@@@OK@@@
• Selecteer de kolomnummers behorende bij de x- en y-gegevens, d.w.z.
X-Kol: 1 en Y-Kol: 2.
• Selecteer alle opties voor de uitvoer (_ΣX, _ΣY, enz.) met de toets
ΣDAT: de matrix die de betreffende gegevens bevat.
X-Col, Y-Col: deze opties zijn alleen van toepassing wanneer u meer
dan twee kolommen in de ΣDAT-matrix heeft. Standaard
is de x-kolom kolom 1 en de y-kolom kolom 2. Als u
slechts een kolom heeft dan is de enige zinvolle
instelling X-Col:
1.
_ΣX _ ΣY…: samenvattende statistieken die u kunt kiezen als
resultaat van dit programma door het betreffende veld
aan te vinken met wanneer dat veld is
geselecteerd.
Blz. 16-7
•Druk op @@@OK@@@ voor de volgende resultaten:
Betrouwbaarheidsintervallen
Toepassing 6. Conf Interval is toegankelijk met ‚Ù—@@@OK@@@.
De toepassing biedt de volgende opties:
Deze opties dienen als volgt geïnterpreteerd te worden:
1. Z-INT: 1 µ.: betrouwbaarheidsinterval van een steekproef voor het
populatiegemiddelde µ met een bekende populatievariantie of voor
grote steekproeven met een onbekende populatievariantie.
2. Z-INT: µ1−µ2.: betrouwbaarheidsinterval voor het verschil van het
populatiegemiddelde µ
1
- µ
2
met bekende populatievarianties of voor
grote steekproeven met onbekende populatievarianties.
3. Z-INT: 1 p.: betrouwbaarheidsinterval van een steekproef voor de
proportie p voor grote steekproeven met een onbekende
populatievariantie.
4. Z-INT: p1− p2.: betrouwbaarheidsinterval voor het verschil van twee
proporties p
1
-p
2
voor grote steekproeven met onbekende
populatievarianties.
5. T-INT: 1 µ.: betrouwbaarheidsinterval van een steekproef voor het
populatiegemiddelde µ voor kleine steekproeven met een onbekende
variantie.
6. T-INT: µ1−µ2.: betrouwbaarheidsinterval voor het verschil van het
populatiegemiddelde µ
1
- µ
2
voor kleine steekproeven met onbekende
populatievarianties.
Blz. 16-8
Voorbeeld 1 – Bepaal het gecentreerde betrouwbaarheidsinterval voor het
gemiddelde van een populatie als een steekproef van 60 elementen
aangeeft dat de gemiddelde waarde van de steekproef x = 23,3 is en de
standaarddeviatie s = 5.2 is. Gebruik α = 0.05. Het confidentieniveau is C
= 1-α = 0.95.
Selecteer geval 1 van het hierboven afgebeelde menu door op @@@OK@@@ te
drukken. Voer de vereiste waarden in in het invoerscherm zoals hieronder:
Druk op @HELP om een scherm te krijgen waarop de betekenis van het
betrouwbaarheidsinterval uitgelegd wordt m.b.t. willekeurige door een
rekenmachine gegenereerde getallen. Gebruik de pijltoets omlaag ˜
om in het resulterende scherm naar beneden te schuiven. Druk op @@@OK@@@
wanneer u klaar bent met het helpscherm. U keert terug naar het scherm
dat hierboven wordt afgebeeld.
Druk op @@@OK@@@ om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen. Het resultaat
dat de rekenmachine weergeeft is:
Druk op @GRAPH om een grafische weergave te zien van de informatie van
het betrouwbaarheidsinterval:
Ch16_Statistische Toepassingen.fm Page 8 Sunday, March 26, 2006 1:17 PM
Blz. 16-9
De grafiek toont de standaard normale verdeling, pdf,
(kansdichtheidsfunctie), de locatie van de kritieke punten ±zα/2, de
gemiddelde waarde (23.3) en de corresponderende intervallimieten
(21.98424 en 24.61576). Druk op @TEXT om terug te keren naar het vorige
resultatenscherm en/of druk op @@@OK@@@ om de
betrouwbaarheidsintervalomgeving te verlaten. De resultaten zullen in een
lijst in het beeldscherm van de rekenmachine worden geplaatst.
Raadpleeg hoofdstuk 18 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor aanvullende voorbeelden van berekeningen met
betrouwbaarheidsintervallen.
Hypotheses testen
Een hypothese is een verklaring omtrent een populatie (bijvoorbeeld met
betrekking tot het gemiddelde). Acceptatie van de hypothese is gebaseerd
op een statistische tets op een steekproef van de populatie. De daaruit
voortvloeiende actie en het maken van beslissingen worden
hypothesetesten genoemd.
De rekenmachine geeft procedures voor hypothesetesten onder toepassing
5. Hypoth. tests is toegankelijk met ‚Ù—— @@@OK@@@.
Net als met de eerder besproken berekening van
betrouwbaarheidsintervallen biedt dit programma de volgende 6 opties:
Deze opties hebben dezelfde betekenis als bij de toepassingen voor
betrouwbaarheidsintervallen:
1. Z-Test: 1 μ.: hypothesetesten van een steekproef voor het
populatiegemiddelde μ met een bekende populatievariantie of voor
grote steekproeven met een onbekende populatievariantie.
2. Z-Test: μ1−μ2.: hypothesetesten voor het verschil van het
populatiegemiddelde μ
1
- μ
2
met bekende populatievarianten of voor
grote steekproeven met onbekende populatievarianten.
3. Z-Test: 1 p.: hypothesetesten van een steekproef voor de proportie p
voor grote steekproeven met een onbekende populatievariantie.
Ch16_Statistische Toepassingen.fm Page 9 Sunday, March 26, 2006 1:17 PM
Blz. 16-10
4. Z-Test: p1− p2.: hypothesetesten voor het verschil van twee proporties
p
1
-p
2
voor grote steekproeven met onbekende populatievarianties.
5. T-Test: 1 µ.: hypothesetesten van een steekproef voor het
populatiegemiddelde µ voor kleine steekproeven met een onbekende
variantie.
6. T-Test: µ1−µ2.: hypothesetesten voor het verschil van het
populatiegemiddelde µ
1
- µ
2
voor kleine steekproeven met onbekende
populatievarianties.
Probeer de volgende oefening:
Voorbeeld 1
– Voor µ
0
= 150, σ = 10, ⎯x = 158, n = 50 en voor α =
0.05 test de hypothese H
0
: µ = µ
0
, tegen de alternatieve hypothese H
1
: µ
≠ µ
0
.
Druk op ‚Ù——@@@OK@@@ om de betrouwbaarheidsintervaloptie in
de rekenmachine te activeren. Druk op @@@OK@@@ om optie 1 te selecteren. Z-
Test: 1 µ.
Voer de volgende gegevens in en druk op @@@OK@@@:
Vervolgens wordt u gevraagd de alternatieve hypothese te selecteren:
Selecteer µ ≠ 150. Druk dan op @@@OK@@@. Het resultaat is:
Blz. 16-11
Dan verwerpen we H
0
: µ = 150 tegen H
1
: µ ≠ 150. De test z-waarde is z
0
= 5.656854. De P-waarde is 1.54×10
-8
. De kritieke waarden van ±zα
/2
=
±1.959964 hetgeen correspondeert met het kritieke x-bereik van {147.2
152.8}.
Deze informatie kan grafisch worden bekeken door op de softmenutoets
@GRAPH te drukken:
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 18 in de gebruikshandleiding over meer materiaal
over statistische analyse, waaronder definities van concepten en
geavanceerde statistische toepassingen.
Blz. 17-1
Hoofdstuk 17
Getallen in Verschillende Grondtallen
Naast ons decimale (grondtal 10, getallen = 0-9) getallensysteem kunt u
o.a. werken met een binair systeem (grondtal 2, getallen = 0 en 1), een
octaal systeem (grondtal 8, getallen = 0-7) of een hexadecimaal systeem
(grondtal 16, getallen = 0-9, A-F). Net zoals het decimale hele getal 321
3x10
2
+2x10
1
+1x10
0
betekent, betekent het getal 100110 in binaire
notering:
1x2
5
+ 0x2
4
+ 0x2
3
+ 1x2
2
+ 1x2
1
+ 0x2
0
= 32+0+0+4+2+0 = 38.
Het menu BASE
Het menu BASE kan geactiveerd worden met de toetsencombinatie
‚ã(de toets 3). Met systeemvlag 117 ingesteld op CHOOSE-
boxes (zie hoofdstuk 1 in deze handleiding) zijn de volgende opties
beschikbaar:
Met systeemvlag 117 ingesteld op SOFT-menus geeft het menu BASE de
volgende functies weer:
Deze afbeelding laat zien dat de LOGIC, BIT en BYTE-opties in het menu
BASE zelf submenu’s zijn. Deze menu’s worden uitvoerig beschreven in
hoofdstuk 19 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine.
Niet-decimale getallen schrijven
Getallen in niet-decimale systemen, binaire hele getallen genoemd,
worden bij het schrijven in de rekenmachine voorafgegaan door het #-
symbool, („â). Selecteer HEX (adecimaal), DEC (imaal), OCT (aal)
of BIN (air) in het menu BASE om het huidige grondtal te selecteren dat
Blz. 17-2
gebruikt dient te worden voor binaire hele getallen. Als bijvoorbeeld
is geselecteerd, zijn binaire hele getallen hexadecimale getallen,
bijv. #53, #A5B, enz. Wanneer verschillende systemen zijn geselecteerd,
worden de getallen automatisch geconverteerd naar het nieuwe huidige
grondtal.
Begin met # en eindig met h (hexadecimaal), d (decimaal), o (octaal) of b
(binair ) om een getal in een bepaald systeem te schrijven.
Referentie
Raadpleeg hoofdstuk 19 in de gebruikshandleiding van de rekenmachine
voor meer informatie over getallen van verschillende grondtallen.
HEX DEC
OCT BIN
Blz. 18-1
Hoofdstuk 18
SD-kaarten gebruiken
De rekenmachine is voorzien van een poort voor een geheugenkaart waar
u een SD-flash-kaart kunt insteken om een backup te maken van
rekenmachinegegevens of om gegevens te downloaden van andere
bronnen. De SD-kaart in de rekenmachine verschijnt als poortnummer 3.
Plaatsen en verwijderen van een SD kaart
De SD gleuf bevindt zich aan de onderrand van de rekenmachine, net
onder de cijfertoetsen. SD kaarten dienen geplaatst te worden met de
bovenzijde naar onder. De meeste kaarten zijn voorzien van een etiket op
de zijde die gewoonlijk wordt aangezien voor de bovenkant. Wanneer u
de HP 50g vasthoudt met het toetsenbord naar boven gericht, dan dient
deze kant van de SD kaart naar beneden gericht te zijn, weg van u om
deze op correcte wijaze in de HP 50g te kunnen plaatsen. De kaart zal
probleemloos in de gleug geduwd kunnen worden over het grootste deel
van haar lengte, en het zal vervolgens een klein beetje meer moeite kosten
om haar volledig in de gleuf te plaatsen. Een volledig ingeschoven kaart
vertoont een praktisch vlak oppervlak met de omhulling van de
rekenmachine, waarbij enkel de bovenrand van de kaart zichtbaar blijft.
Om een SD kaart te verwijderen, schakelt u de HP 50g uit, drukt zachtjes
op de vrije rand van de kaart en drukt deze naar binnen. De kaart dient
probleemloos lover een kleine afstand os te springen uit d egleuf, zodat zij
gemakkelijk verder verwijderd wordt uit de rekenmachine.
Formatteren van een SD kaart
De meeste SD kaarten zullen reeds geformateerd zijn, doch dit kan
gebeurd zijn met een bestandensysteem dat incompatibel is met de HP
50g. De HP 50g werkt enkel met kaarten in het FAT16 of FAT32 formaat.
U kan een SD kaart formateren vanop een PC of vanop de rekenmachine.
Indien u te werk gaat vanop de rekenmachine (met behulp van de
hieronder beschreven procedure), dient u er zeker van te zijn dat de
rekenmachine vorozien is van nieuwe of relatief verse batterijen.
1. Plaats de SD kaart in de kaartgleuf (zoals uiteengezet in de vorige
paragraaf).
Opmerking: het formateren van een SD kaart wist alle op dat
moment op de kaart aanwezige gegevens.
Ch18_SD-kaarten gebruiken.fm Page 1 Sunday, March 26, 2006 1:36 PM
Blz. 18-2
2. Hou de ‡ toets ingedrukt en druk tegelijk op de D toets. Laat de
D toets en de ‡ toets los. Het systeemmenu wordt weergegeven
met verschillende keuzen:
3. Druk 0 om te formateren. Het formateringsproces begint.
4. Wanneer het formateren is afgelopen, geeft de HP 50g de boodschap
weer "FORMAT FINISHED. PRESS ANY KEY TO EXIT". Om het
systeemmenu te verlaten, hou de ‡ toets ingdrukt, laat de C toets
los, en laat vervolgens de ‡ toets los.
De SD kaart is nu klaar voor gebruik. Zij zal geformateerd zijnin Fat32
formaat.
Toegang verkrijgen tot een object op een SD
kaart
Toegang tot een object op een SD kaart wordt op gelijkaardige manier
verkregen als via de poorten 0, 1 of 2. Poort 3 verschijnt echter niet in het
menu wanneer u de functie LIB (‚á) gebruikt. De SD-bestanden
kunnen alleen beheerd worden met de Filer of File Manager („¡).
De boomstructuur geeft het volgende weer wanneer u de Filer activeert:
Lange bestandnamen op een SD kaart worden ondersteund, doch worden
weergegeven in 8.3 formaat in de Filer (dat wil zeggen dat de namen
afgekapt worden op 8 karakters en een aanhangsel van drie karakters).
Het type van elk object zal weergegeven worden, tenzij het om een PC
object gaat of om een object van een onbekend type. (In die gevallen
wordt het type weergegeven als een string).
Naast het gebruik van bewerkingen met de File Manager, kunt u de
functies STO en RCL gebruiken om gegevens op de SD-kaart op te slaan
en er uit op te roepen. Zie de volgende paragrafen:
Gegevens opslaan op de SD-kaart
U kunt alleen gegevens opslaan in de root van de SD, d,w,z, er kan geen
subdirectoryboom aangemaakt worden in Poort 3 (Deze functie kan
Ch18_SD-kaarten gebruiken.fm Page 2 Sunday, March 26, 2006 1:36 PM
Blz. 18-3
uitgebreid worden bij een toekomstige flash-ROM-upgrade). Gebruik de
functie STO als volgt om gegevens op te slaan:
• In de Algebraic-modus:
Voer de gegevens in, druk op K, voer de naam in van de
opgeslagen gegevens via poort 3 (bijv. :3:VAR1), druk op`.
• In de RPN-modus:
Voer de gegevens in, voer de naam in van de opgeslagen gegevens
via poort 3 (bijv. :3:VAR1) druk op K.
Gegevens oproepen van de SD-kaart
Gebruik de functie RCL als volgt om gegevens van de SD-kaart in het
scherm op te roepen:
• In de Algebraic-modus:
Druk op „©, voer de naam in van de opgeslagen gegevens via
poort 3 (bijv. :3:VAR1) druk op`.
• In de RPN-modus:
Voer de naam in van de opgeslagen gegevens via poort 3 (bijv.
:3:VAR1), druk op „©.
Met de functie RCL is het mogelijk om variabelen weer op te roepen door
een pad in het commando te specificeren, b.v. in de RPN-modus: :3:
{path} ` RCL. Het pad, zoals in een DOS-station, is een reeks
namen van directory’s die samen de plaats van de variabele in de
directory-boom bepalen. Echter, sommige variabelen opgeslagen in een
back-upobject kunnen niet worden opgeroepen door het opgeven van een
pad. In dat geval zal het volledige back-upobject moeten worden
opgeroepen (bijv. een directory) en de individuele variabelen worden
geopend op het scherm.
Opmerking: Indien de naam van het object dat u wenst op te slaan
op een SD kaart langer is dan 8 karakters zal deze weergegeven
worden in 8.3 DOS formaat op poort 3 in de Filer van zodra het
object op de kaart is opgeslagen.
Opmerking: in het geval van bestanden met lange bestandnamen
kan u de volledige naam van het object of de afgekapte 8.3 naam
specificeren wanneer u een RCL commando geeft.
Ch18_SD-kaarten gebruiken.fm Page 3 Sunday, March 26, 2006 1:36 PM
Blz. 18-4
Een object van de SD-kaart wissen
Om een object van de SD-kaart te wissen naar het scherm, gebruikt u de
functie PURGE als volgt:
• In de Algebraic-modus:
Druk op I @PURGE, voer de naam in van het opgeslagen object via
poort 3 (bijv. :3:VAR1), druk op `.
• In de RPN-modus:
Voer de naam in van het opgeslagen object via poort 3 (bijv.
:3:VAR1), druk op I @PURGE.
Alle objecten wissen van de SD kaart (door te
herformateren)
U kan alle objecten op de SD kaart wissen door deze laatste te
herformateren. Wanneer er een SD kaart in de gleuf geplaatst is, verschijnt
!FORMA! als een bijkomend menu-item in de File Manager. Indien u deze
optie kiest, wordt de kaart geherformateerd, waarbij eveneens alle op de
kaart opgeslagen objecten worden gewist.
Specificeren van een directory op een SD
kaart
U kan objecten die zich in een directorystructuur bevinden op een SD kaart
opslaan, teru oproepen, en wissen. Merk op dat, om met een object et
werken op root-niveau van een SD kaart, de toets ³ wordt gebruikt.
Wanneer u echter wenst te werken met een object in een subdirectory
dient de naam met het volledige pad opgegeven te worden, doro gebruik
te maken van de …Õ toetsen.
Wanneer u bijvoorbeeld een object met als naam PROG1 in een directory
PROGS wenst te plaatsen op een SD kaart, dan dient u, met het object nog
steeds op het eerste niveau van het stapelgeheugen:
!ê3™…Õ~~progs…/
prog1`K
in te toetsen.
Opmerking: in het geval van lange bestandsnamen kan ud e
volledige naam of de afgekapte 8.3 naam opgeven bij het evalueren
van een object op een SD kaart.
Blz. 18-5
Dit zal het object dat daarvoor in het stapelgeheuegen stond, naar de SD
kaart wegschrijven in de directory PROGS onder de naam PROG1. Merk
op dat indien PROGS niet bestaat, de directory automatisch zal worden
aangemaakt.
U kan een willekeurig aantal geneste subdirectory’s specificeren. Om te
verwijzen naar een object in een subdirectory op het derde niveau, zou de
syntax bijvoorbeeld als volgt zijn:
:3:”DIR1/DIR2/DIR3/NAME”
Opmerking: het intoetsen van ~…/ produceert de forward
slash.
Blz. 19-1
Hoofdstuk 19
Vergelijkingenbibliotheek
De vergelijkingenbibliotheek is een verzameling vergelijkingen en
commando’s die u in staat stellen om eenvoudige wetenschappelijke en
ingenieursproblemen op te lossen. De bibliotheek bestaat uit meer dan
300 vergelijkingen die zijn gegroepeerd in 15 technische onderwerpen
met meer dan 100 verschillende probleemtitels. Elke probleemtitel bevat
één of meer vergelijkingen die u helpen bij het oplossen van dat type
probleem.
Voorbeeld: Bestudeer de verzameling vergelijkingen voor de beweging
van projectielen.
Opmerking: de voorbeelden in dit hoofdstuk gaan er van uit dat
de rekenmachine in RPN modus staat en dat vlag –117 geplaatst is.
(Vlag –117 dient steeds geplaatst te zijn wanneer u de numerieke
solver gebruikt om vergelijkingen op te lossen met de
Vergelijkingenbibliotheek.)
Stap 1: Stel het display in op 2 decimale plaatsen en open vervolgens
de toepassing van de Vergelijkingenbibliotheek (Indien #SI# en
#UNIT# niet gemarkeerd zijn door middel van kleine vierkantjes,
druk elk van de overeenstemmende menutoetsen éénmaal in.)
H˜~f™2`
G—`EQLIB EQNLI
Stap 2: Selecteer het onderwerp (Beweging van projectielen) en open
de catalogus.
~m˜`
Stap 3: Selecteer ”Beweging van projectielen” en bekijk het diagram
dat het probleem beschrijft.
Blz. 19-2
Maak nu gebruik van deze verzameling vergelijkingen om de vragen uit
het volgende voorbeeld te beantwoorden.
Voorbeeld:U schat dat de gemiddelde doelwachter een voetbal in het
veld wegschiet over een afstand (R) van 65 meter onder een opwaartse
hoek (
0
) van 50 graden. Aan welke snelheid (v
0
) wordt een dergelijke bal
weggeschoten? Welk hoogte bereikt de bal halverwege het traject? Hoe
ver zou de doelwachter de bal kunnen wegschieten door gebruik te maken
van dezelfde snelheid, doch de opwaartse hoek zou aanpassen naar 30?
(De wrijvingseffecten op de bal mogen verwaarloosd worden.)
˜˜#PIC#
Stap 4: Bekijk de vijf vergelijkingen in de verzameling “Beweging van
projectielen”. De vijf vergelijkingen worden om beurten
gebruikt om naar ontbrekende variabelen op te lossen (zie het
volgende voorbeeld).
#EQN# #NXEQ# #NXEQ# #NXEQ# #NXEQ#
Stap 5: Bestudeer de door de verzameling vergelijkingen gebruikte
variabelen.
#VARS#S#
en —en ˜ zoals gewenst
Stap 1: Start de oplossing van het probleem.
Blz. 19-3
#SOLV#
Stap 2: Voer de gekende waarden in en toets de met elke variabele
overeenstemmende softmenutoets in. (U kan er van uit gaan
dat x
0
en y
0
gelijk aan nul zijn.) Merk op dat de menulabels
zwart worden terwijl u waarden invoert. (U zal op L
moeten drukken om de initieel weergegeven variabelen te
kunnen bekijken.)
0 *!!!!!!X0!!!!!+ 0 *!!!!!!Y0!!!!!+ 50 *!!!!!!Ô0!!!!!+
L65 *!!!!!!R!!!!!+
Stap 3: Los op naar de snelheid, v
0
. (U lost op naar een variabele
door ! in te toetsen en vervolgens de menutoets die met de
variabele overeenstemt.)
! *!!!!!!V0!!!!!+
Stap 4: Roep de reikwijdte, R, op; deel door 2 om de afstand na het
halve traject te bekomen, en voer dit in als x-coöordinaat.
Merk op dat rechtse shiftversie van een menutoets van een
variabele er voor zorgt dat de rekenmachine de waarde
ervan terug naar het stapelgeheugen roept. (Het kleine
vierkantje naast de R op het menulabel geeft aan dat deze
gebruikt werd in de voorgaande berekening.)
@##R#-
2 /LL*!!!!!!X!!!!!+
Blz. 19-4
Referentie
Voor bijkomende details betreffende de Vergelijkingenbibliotheek, zie
Hoofdstuk 27 van de Gebruikergids van de rekenmachine.
Stap 5: Los op naar de hoogte, y. Merk op dat de rekenmachine
gaandeweg waarden vindt voor andere variabelen
(aangeduid door kleine vierkantjes) om de vergelijking te
kunnen oplossen naar de gewenste variabele.
! *!!!!!!Y!!!!!+
Stap 6: Voer de nieuwe waarde in voor de opwaartse hoek (30
graden), sla de voorgaand berekende initiële snelheid (v
0
) op
en los op naar R.
30 ##¢0#-
™L *!!!!!!V0!!!!!+
! *!!!!!!!!R!!!!!!!+
Blz. G-1
Beperkte Garantie
HP 50g grafische rekenmachine; Garantieperiode: 12 maanden
1. HP garandeert u, de eindgebruiker, dat HP hardware, accessoires en
bijgeleverde producten vrij zijn van defecten in materiaal en afwerking
na de aankoopdatum voor de hierboven aangegeven periode. Indien
HP een mededeling ontvangt van dergelijke defecten gedurende de
garantieperiode zal HP, naar eigen goeddunken, de producten die
defect blijken te zijn repareren of vervangen. Vervangende producten
kunnen nieuw of als nieuw zijn.
2. HP garandeert u dat HP software na de aankoopdatum voor de
hierboven aangegeven periode niet ten gevolge van defecten aan
materiaal of afwerking zal falen de programma-instructies uit te voeren
indien correct geïnstalleerd en gebruikt. Indien HP een mededeling
ontvangt van dergelijke defecten gedurende de garantieperiode zal HP
de softwaremedia vervangen die de programma-instructies niet
uitvoeren ten gevolge van dergelijke defecten.
3. HP garandeert niet dat de werking van HP-producten ononderbroken
en foutloos zal zijn. Indien HP niet binnen redelijke tijd in staat is een
product te repareren of te vervangen volgens de garantievoorwaarden,
dan heeft u recht op een terugbetaling van de aankoopprijs bij direct
terugsturen van het product met het aankoopbewijs.
4. HP-producten kunnen hergebruikte of incidenteel gebruikte onderdelen
bevatten die in prestatie equivalent zijn aan nieuwe producten.
5. Garantie geldt niet voor defecten die het gevolg zijn van (a) oneigenlijk
of onjuist onderhoud of kalibreren, (b) software, koppelingen,
onderdelen of niet door HP geleverde componenten, (c) modificaties
zonder toestemming of misbruik, (d) gebruik buiten de voor het product
gepubliceerde milieuspecificaties of (e) oneigenlijke site preparatie of
onderhoud.
6. HP GEEFT GEEN ANDERE SCHRIFTELIJKE OF MONDELINGE
EXPLICIETE GARANTIE OF CONDITIE. VOORZOVER TOEGESTAAN
DOOR LOKALE WETGEVING, IS ELKE IMPLICIETE GARANTIE OF
CONDITIE VAN VERKOOPBAARHEID, BEVREDIGENDE KWALITEIT OF
GESCHIKTHEID VOOR SPECIFIEK GEBRUIK BEPERKT TOT DE DUUR
VAN DE EXPLICIETE GARANTIE ZOALS HIERBOVEN UITEENGEZET.
Sommige landen, staten of provincies staan geen beperkingen toe op
de duur van een impliciete garantie, het kan dus zijn dat de
bovenstaande beperking of uitsluiting niet op u van toepassing is. Deze
garantie geeft u specifieke wettelijke rechten en u kunt ook andere
rechten hebben die van land tot land, staat tot staat of provincie tot
provincie variëren.
Beperkte Garantie.fm Page 1 Sunday, March 26, 2006 1:29 PM
Blz. G-2
7. VOORZOVER TOEGESTAAN DOOR LOKALE WETGEVING ZIJN DE
REMEDIES IN DEZE GARANTIEVERKLARING UW ENIGE EN
EXCLUSIEVE REMEDIES. MET UITZONDERING VAN HETGEEN
HIERBOVEN AANGEGEVEN ZIJN HP EN DE HP-LEVERANCIERS IN
GEEN GEVAL AANSPRAKELIJK VOOR HET VERLOREN GAAN VAN
GEGEVENS OF VOOR DIRECTE, SPECIALE, INCIDENTELE SCHADE,
GEVOLGSCHADE (WAARONDER GEMISTE WINST OF VERLOREN
GEGANE GEGEVENS) OF ANDERE SCHADE, GEBASEERD OP HET
CONTRACT, BENADELING OF ANDERSZINS. Sommige landen,
staten of provincies staan geen uitsluiting of beperking van incidentele
schade of gevolgschade toe, het kan dus zijn dat de bovenstaande
beperking of uitsluiting niet op u van toepassing is.
8. De enige garanties voor HP-producten en diensten zijn uiteengezet in
de bijgeleverde expliciete garantieverklaring. HP kan niet aansprakelijk
gesteld worden voor enigerlei in dit document vervatte technische of
redactionele fouten of weglatingen.
VOOR CONSUMENTENTRANSACTIES IN AUSTRALIË EN NIEUW-
ZEELAND: DE GARANTIEVOORWAARDEN IN DEZE BEPALING, MET
UITZONDERING VAN HETGEEN TOEGESTAAN DOOR DE WET,
BEVATTEN GEEN UITSLUITINGEN, BEPERKINGEN OF WIJZIGINGEN
VAN EN ZIJN EEN AANVULLING OP DE VERPLICHTE, WETTELIJK
VOORGESCHREVEN RECHTEN DIE VAN TOEPASSING ZIJN OP DE
VERKOOP VAN DIT PRODUCT AAN U.
Blz. G-3
Service
Europa Land: Telefoonnummers
Oostenrijk +43-1-3602771203
België +32-2-7126219
Denemarken +45-8-2332844
Oost-Europa +420-5-41422523
Finland +35-89640009
Frankrijk +33-1-49939006
Duitsland +49-69-95307103
Griekenland +420-5-41422523
Nederland +31-2-06545301
Italië +39-02-75419782
Noorwegen +47-63849309
Portugal +351-229570200
Spanje +34-915-642095
Zweden +46-851992065
Zwitserland +41-1-4395358 (Duits)
+41-22-8278780 (Frans)
+39-02-75419782 (Italiaans)
Turkije +420-5-41422523
VK +44-207-4580161
Tsjechische Republiek +420-5-41422523
Zuid-Afrika +27-11-2376200
Luxemburg +32-2-7126219
Andere Europese
landen +420-5-41422523
Azië-Oceanië
Land: Telefoonnummers
Australië +61-3-9841-5211
Singapore +61-3-9841-5211
Blz. G-4
Ga naar http://www.hp.com voor de laatste informatie over onze service
en ondersteuning.
L-Amerika Land: Telefoonnummers
Argentinië 0-810-555-5520
Brazilië Sao Paulo 3747-7799; RVHL 0-
800-157751
Mexico Mx City 5258-9922; RVHL 01-
800-472-6684
Venezuela 0800-4746-8368
Chili 800-360999
Colombia 9-800-114726
Peru 0-800-10111
Midden-Amerika &
Caribische gebied 1-800-711-2884
Guatemala 1-800-999-5105
Puerto Rico 1-877-232-0589
Costa Rica 0-800-011-0524
N-America
Land: Telefoonnummers
VS 1800-HP INVENT
Canada (905) 206-4663 or 800- HP
INVENT
RVHL = Rest van het land
Blz. G-5
Regulatory information
Federal Communications Commission Notice
This equipment has been tested and found to comply with the limits for a
Class B digital device, pursuant to Part 15 of the FCC Rules. These limits
are designed to provide reasonable protection against harmful interference
in a residential installation. This equipment generates, uses, and can
radiate radio frequency energy and, if not installed and used in
accordance with the instructions, may cause harmful interference to radio
communications. However, there is no guarantee that interference will not
occur in a particular installation. If this equipment does cause harmful
interference to radio or television reception, which can be determined by
turning the equipment off and on, the user is encouraged to try to correct
the interference by one or more of the following measures:
• Reorient or relocate the receiving antenna.
• Increase the separation between the equipment and the receiver.
• Connect the equipment into an outlet on a circuit different from that to
which the receiver is connected.
• Consult the dealer or an experienced radio or television technician for
help.
Modifications
The FCC requires the user to be notified that any changes or modifications
made to this device that are not expressly approved by Hewlett-Packard
Company may void the user’s authority to operate the equipment.
Cables
Connections to this device must be made with shielded cables with metallic
RFI/EMI connector hoods to maintain compliance with
FCC rules and regulations.
Declaration of Conformity for Products Marked with FCC
Logo, United States Only
This device complies with Part 15 of the FCC Rules. Operation is subject to
the following two conditions: (1) this device may not cause harmful
interference, and (2) this device must accept any interference received,
including interference that may cause undesired operation.
For questions regarding your product, contact:
Hewlett-Packard Company
P. O. Box 692000, Mail Stop 530113
Houston, Texas 77269-2000
Or, call
Blz. G-6
1-800-474-6836
For questions regarding this FCC declaration, contact:
Hewlett-Packard Company
P. O. Box 692000, Mail Stop 510101
Houston, Texas 77269-2000
Or, call
1-281-514-3333
To identify this product, refer to the part, series, or model number found
on the product.
Canadian Notice
This Class B digital apparatus meets all requirements of the Canadian
Interference-Causing Equipment Regulations.
Avis Canadien
Cet appareil numérique de la classe B respecte toutes les exigences du
Règlement sur le matériel brouilleur du Canada.
European Union Regulatory Notice
This product complies with the following EU Directives:
•Low Voltage Directive 73/23/EEC
• EMC Directive 89/336/EEC
Compliance with these directives implies conformity to applicable
harmonized European standards (European Norms) which are listed on the
EU Declaration of Conformity issued by Hewlett-Packard for this product or
product family.
This compliance is indicated by the following conformity marking placed
on the product:
This compliance is indicated by the following conformity marking placed
on the product:
This marking is valid for non-Telecom prodcts
and EU harmonized Telecom products (e.g.
Bluetooth).
xxxx*
This marking is valid for EU non-harmonized Telecom products.
*Notified body number (used only if applicable - refer to the
product label)
Blz. G-7
Japanese Notice
この装置は、 情報処理装置等電波障害自主規制協議会 （VCCI） の基準に基づ く ク ラ ス B
情報技術装置です。 この装置は、 家庭環境で使用する こ と を目的と し ていますが、 この装
置がラ ジオやテ レ ビ ジ ョ ン受信機に近接 し て使用 さ れる と 、 受信障害を引き起 こ す こ とが
あります。
取扱説明書に従っ て正し い取り 扱いを して く ださ い。
Korean Notice
Verwijdering van afgedankte apparatuur
door privé-gebruikers in de Europese Unie
Dit symbool op het product of de verpakking geeft aan
dat dit product niet mag worden gedeponeerd bij het
normale huishoudelijke afval. U bent zelf
verantwoordelijk voor het inleveren van uw afgedankte
apparatuur bij een inzamelingspunt voor het recyclen
van oude elektrische en elektronische
apparatuur. Door uw oude apparatuur apart aan te bieden en te r
ecyclen, kunnen natuurlijke bronnen worden behouden en kan het
materiaal worden hergebruikt op een manier waarmee de
volksgezondheid en het milieu worden beschermd. Neem contact op
met uw gemeente, het afvalinzamelingsbedrijf of de winkel waar u het
product hebt gekocht voor meer informatie over inzamelingspunten
waar u oude apparatuur kunt aanbieden voor recycling.
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
8
-
9
-
10
-
11
-
12
-
13
-
14
-
15
-
16
-
17
-
18
-
19
-
20
-
21
-
22
-
23
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
-
30
-
31
-
32
-
33
-
34
-
35
-
36
-
37
-
38
-
39
-
40
-
41
-
42
-
43
-
44
-
45
-
46
-
47
-
48
-
49
-
50
-
51
-
52
-
53
-
54
-
55
-
56
-
57
-
58
-
59
-
60
-
61
-
62
-
63
-
64
-
65
-
66
-
67
-
68
-
69
-
70
-
71
-
72
-
73
-
74
-
75
-
76
-
77
-
78
-
79
-
80
-
81
-
82
-
83
-
84
-
85
-
86
-
87
-
88
-
89
-
90
-
91
-
92
-
93
-
94
-
95
-
96
-
97
-
98
-
99
-
100
-
101
-
102
-
103
-
104
-
105
-
106
-
107
-
108
-
109
-
110
-
111
-
112
-
113
-
114
-
115
-
116
-
117
-
118
-
119
-
120
-
121
-
122
-
123
-
124
-
125
-
126
-
127
-
128
-
129
-
130
-
131
-
132
-
133
-
134
-
135
-
136
-
137
-
138
-
139
-
140
-
141
-
142
-
143
-
144
-
145
-
146
-
147
-
148
-
149
-
150
-
151
-
152
-
153
-
154
-
155
-
156
-
157
-
158
-
159
-
160
-
161
-
162
-
163
-
164
-
165
-
166
-
167
-
168
-
169
-
170
-
171
-
172
-
173
-
174
-
175
-
176
-
177
-
178
-
179
-
180
-
181
-
182
-
183
-
184
-
185
-
186
-
187
-
188
-
189
-
190
-
191
-
192
HP 50g Graphing Calculator Handleiding
- Categorie
- Waterpompen
- Type
- Handleiding
Gerelateerde artikelen
-
HP 49g+ Graphing Calculator Handleiding
-
HP 48gII Graphing Calculator Handleiding
-
HP 50g Graphing Calculator Handleiding
-
-
-
-
-
HP Prime Graphing Wireless Calculator Handleiding
-
HP 40gs Handleiding
-